Номер 89, страница 89 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

89. Определите направление ветвей и координаты вершины параболы:

1) $y = x^2 - 10x - 3$;

2) $y = -x^2 - 5x + 3$;

3) $y = 0.4x^2 + 0.8x - 0.12$;

4) $y = -2x^2 - 8x + 5$.

Для определения направления ветвей и координат вершины параболы, заданной уравнением $y = ax^2 + bx + c$, используются следующие правила:

• Направление ветвей определяется знаком коэффициента $a$. Если $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. Если $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.
• Координаты вершины $(x_v, y_v)$ вычисляются по формулам: абсцисса $x_v = -\frac{b}{2a}$, а ордината $y_v$ находится подстановкой $x_v$ в исходное уравнение параболы: $y_v = a(x_v)^2 + b(x_v) + c$.

1) $y = x^2 - 10x - 3$

В данном уравнении коэффициенты: $a = 1$, $b = -10$, $c = -3$.
Так как коэффициент $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
Теперь найдем координаты вершины. Сначала вычислим абсциссу вершины:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-10}{2 \cdot 1} = \frac{10}{2} = 5$.
Далее подставим значение $x_v = 5$ в уравнение параболы, чтобы найти ординату вершины:
$y_v = (5)^2 - 10 \cdot 5 - 3 = 25 - 50 - 3 = -28$.
Таким образом, координаты вершины параболы: $(5; -28)$.
Ответ: ветви направлены вверх, вершина в точке $(5; -28)$.

2) $y = -x^2 - 5x + 3$

Коэффициенты уравнения: $a = -1$, $b = -5$, $c = 3$.
Так как коэффициент $a = -1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.
Вычислим абсциссу вершины:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-5}{2 \cdot (-1)} = -\frac{5}{2} = -2,5$.
Подставим $x_v = -2,5$ в уравнение, чтобы найти ординату вершины:
$y_v = -(-2,5)^2 - 5 \cdot (-2,5) + 3 = -6,25 + 12,5 + 3 = 9,25$.
Координаты вершины параболы: $(-2,5; 9,25)$.
Ответ: ветви направлены вниз, вершина в точке $(-2,5; 9,25)$.

3) $y = 0,4x^2 + 0,8x - 0,12$

Коэффициенты уравнения: $a = 0,4$, $b = 0,8$, $c = -0,12$.
Так как коэффициент $a = 0,4 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
Вычислим абсциссу вершины:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{0,8}{2 \cdot 0,4} = -\frac{0,8}{0,8} = -1$.
Подставим $x_v = -1$ в уравнение, чтобы найти ординату вершины:
$y_v = 0,4(-1)^2 + 0,8 \cdot (-1) - 0,12 = 0,4 \cdot 1 - 0,8 - 0,12 = 0,4 - 0,8 - 0,12 = -0,52$.
Координаты вершины параболы: $(-1; -0,52)$.
Ответ: ветви направлены вверх, вершина в точке $(-1; -0,52)$.

4) $y = -2x^2 - 8x + 5$

Коэффициенты уравнения: $a = -2$, $b = -8$, $c = 5$.
Так как коэффициент $a = -2 < 0$, ветви параболы направлены вниз.
Вычислим абсциссу вершины:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{2 \cdot (-2)} = -\frac{-8}{-4} = -2$.
Подставим $x_v = -2$ в уравнение, чтобы найти ординату вершины:
$y_v = -2(-2)^2 - 8 \cdot (-2) + 5 = -2 \cdot 4 + 16 + 5 = -8 + 16 + 5 = 13$.
Координаты вершины параболы: $(-2; 13)$.
Ответ: ветви направлены вниз, вершина в точке $(-2; 13)$.