Номер 83, страница 88 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

83. Постройте график функции $y = x^2$. Используя этот график, постройте график функции:

1) $y = x^2 - 1;$

2) $y = (x + 2)^2;$

3) $y = (x - 1)^2 + 1.$

Для построения графиков заданных функций сначала построим график базовой функции $y = x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в начале координат, в точке $(0, 0)$. Для более точного построения найдем несколько ключевых точек, принадлежащих этому графику, составив таблицу значений:

Соединив эти точки плавной линией, мы получим параболу $y = x^2$. Этот график мы будем использовать как основу для построения остальных графиков с помощью геометрических преобразований (сдвигов).

График функции $y = f(x) + c$ получается из графика функции $y = f(x)$ сдвигом вдоль оси ординат (OY) на $c$ единиц. В нашем случае $f(x) = x^2$ и $c = -1$. Следовательно, чтобы построить график функции $y = x^2 - 1$, нужно взять график функции $y = x^2$ и сдвинуть его на 1 единицу вниз.

При этом каждая точка графика $(x_0, y_0)$ переместится в точку $(x_0, y_0 - 1)$. Вершина параболы переместится из точки $(0, 0)$ в точку $(0, 0 - 1)$, то есть в $(0, -1)$.

Ответ: График функции $y = x^2 - 1$ — это парабола, полученная сдвигом графика $y = x^2$ на 1 единицу вниз вдоль оси OY. Вершина новой параболы находится в точке $(0, -1)$.

График функции $y = f(x + c)$ получается из графика функции $y = f(x)$ сдвигом вдоль оси абсцисс (OX) на $c$ единиц влево. В нашем случае $f(x) = x^2$ и $c = 2$. Следовательно, чтобы построить график функции $y = (x + 2)^2$, нужно взять график функции $y = x^2$ и сдвинуть его на 2 единицы влево.

При этом каждая точка графика $(x_0, y_0)$ переместится в точку $(x_0 - 2, y_0)$. Вершина параболы переместится из точки $(0, 0)$ в точку $(0 - 2, 0)$, то есть в $(-2, 0)$.

Ответ: График функции $y = (x + 2)^2$ — это парабола, полученная сдвигом графика $y = x^2$ на 2 единицы влево вдоль оси OX. Вершина новой параболы находится в точке $(-2, 0)$.

Для построения этого графика необходимо выполнить два последовательных преобразования над графиком $y = x^2$. Общий вид функции $y = a(x - m)^2 + n$ представляет собой параболу с вершиной в точке $(m, n)$.

В нашем случае $m = 1$ и $n = 1$. Это означает, что мы должны выполнить следующие сдвиги:

1. Сдвинуть график $y = x^2$ на 1 единицу вправо вдоль оси OX (так как $m = 1$).
2. Сдвинуть получившийся график на 1 единицу вверх вдоль оси OY (так как $n = 1$).

Вершина параболы переместится из точки $(0, 0)$ в точку $(1, 1)$. Форма параболы останется неизменной.

Ответ: График функции $y = (x - 1)^2 + 1$ — это парабола, полученная сдвигом графика $y = x^2$ на 1 единицу вправо вдоль оси OX и на 1 единицу вверх вдоль оси OY. Вершина новой параболы находится в точке $(1, 1)$.