Номер 76, страница 87 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

76. Докажите, что функция:

1) $f(x) = \frac{7}{x-5}$ убывает на промежутке $(5; +\infty);$

2) $f(x) = x^2 + 6x$ возрастает на промежутке $[-3; +\infty).$

1) Для доказательства того, что функция $f(x) = \frac{7}{x-5}$ убывает на промежутке $(5; +\infty)$, воспользуемся определением убывающей функции. Функция является убывающей на промежутке, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$.

Пусть $x_1$ и $x_2$ – произвольные точки из промежутка $(5; +\infty)$, причем $x_1 < x_2$.

Из условия $5 < x_1 < x_2$ следует, что $x_1 - 5 > 0$ и $x_2 - 5 > 0$.

Также из $x_1 < x_2$ следует, что $x_1 - 5 < x_2 - 5$.

Так как обе части последнего неравенства являются положительными числами, мы можем взять от них обратные величины, изменив при этом знак неравенства на противоположный:

$\frac{1}{x_1 - 5} > \frac{1}{x_2 - 5}$

Теперь умножим обе части на положительное число 7. Знак неравенства при этом не изменится:

$\frac{7}{x_1 - 5} > \frac{7}{x_2 - 5}$

Это означает, что $f(x_1) > f(x_2)$.

Таким образом, для любых $x_1 < x_2$ из промежутка $(5; +\infty)$ выполняется $f(x_1) > f(x_2)$, следовательно, функция $f(x)$ убывает на этом промежутке, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что функция $f(x) = \frac{7}{x-5}$ убывает на промежутке $(5; +\infty)$.

2) Для доказательства того, что функция $f(x) = x^2 + 6x$ возрастает на промежутке $[-3; +\infty)$, исследуем знак ее производной. Функция возрастает на интервале, если ее производная на этом интервале неотрицательна.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^2 + 6x)' = 2x + 6$.

Определим, при каких значениях $x$ производная $f'(x)$ неотрицательна, то есть решим неравенство $f'(x) \ge 0$.

$2x + 6 \ge 0$

$2x \ge -6$

$x \ge -3$

Производная $f'(x)$ положительна для всех $x \in (-3; +\infty)$ и равна нулю в точке $x = -3$. Поскольку производная функции неотрицательна на всем промежутке $[-3; +\infty)$, и функция $f(x)$ непрерывна, то функция $f(x) = x^2 + 6x$ возрастает на этом промежутке, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что функция $f(x) = x^2 + 6x$ возрастает на промежутке $[-3; +\infty)$.