Номер 81, страница 88 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

81. Каковы координаты вершины параболы:

1) $y = x^2 + 12$;

2) $y = (x - 7)^2$;

3) $y = (x + 20)^2 + 1?$

1) Для нахождения координат вершины параболы, заданной уравнением $y = x^2 + 12$, можно использовать стандартную формулу вершины параболы $y = a(x-h)^2 + k$, где $(h, k)$ — искомые координаты.
Преобразуем данное уравнение к этому виду:
$y = 1 \cdot (x - 0)^2 + 12$
Сравнивая это уравнение со стандартной формой, мы видим, что $h = 0$ и $k = 12$.
Таким образом, координаты вершины параболы равны $(0, 12)$.

Альтернативный способ — использование формулы для абсциссы вершины $x_0 = -\frac{b}{2a}$ для уравнения вида $y = ax^2+bx+c$.
В уравнении $y = x^2 + 12$ коэффициенты $a=1$, $b=0$, $c=12$.
$x_0 = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0$.
Подставим значение $x_0$ в исходное уравнение, чтобы найти ординату вершины $y_0$:
$y_0 = 0^2 + 12 = 12$.
Координаты вершины: $(0, 12)$.
Ответ: $(0, 12)$

2) Уравнение параболы $y = (x - 7)^2$ уже представлено в форме $y = a(x-h)^2 + k$, где $(h, k)$ — координаты вершины.
Полная запись этого уравнения выглядит так: $y = 1 \cdot (x - 7)^2 + 0$.
Из сравнения со стандартной формой $y = a(x-h)^2 + k$ находим, что $h = 7$ и $k = 0$.
Следовательно, координаты вершины этой параболы: $(7, 0)$.
Ответ: $(7, 0)$

3) Уравнение параболы $y = (x + 20)^2 + 1$ также представлено в форме $y = a(x-h)^2 + k$.
Чтобы определить $h$, представим выражение в скобках в виде $(x-h)$:
$x + 20 = x - (-20)$.
Таким образом, уравнение можно переписать как $y = 1 \cdot (x - (-20))^2 + 1$.
Сравнивая его со стандартной формой, получаем $h = -20$ и $k = 1$.
Координаты вершины этой параболы: $(-20, 1)$.
Ответ: $(-20, 1)$