Номер 85, страница 88 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

85. Постройте график функции $y = (x - 6)^2 - 9$. Используя этот график, найдите:

1) нули функции;

2) при каких значениях аргумента функция принимает положительные значения;

3) промежуток возрастания и промежуток убывания функции;

4) область значений функции.

Чтобы построить график функции $y = (x - 6)^2 - 9$ и найти требуемые значения, сначала проанализируем саму функцию.

Это квадратичная функция, график которой — парабола. Уравнение представлено в вершинной форме $y = a(x - h)^2 + k$, где:

• $a = 1$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
• $(h, k) = (6, -9)$. Это координаты вершины параболы.

График этой функции можно получить, сдвинув график стандартной параболы $y = x^2$ на 6 единиц вправо по оси абсцисс и на 9 единиц вниз по оси ординат. Вершина параболы, являющаяся её точкой минимума, находится в точке $(6, -9)$.

Используя эти свойства графика, найдём ответы на поставленные вопросы.

1) нули функции;

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Графически это точки пересечения параболы с осью абсцисс (Ox). Для их нахождения решим уравнение $y = 0$:
$(x - 6)^2 - 9 = 0$
$(x - 6)^2 = 9$
Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, получаем два случая:
$x - 6 = 3$ или $x - 6 = -3$
$x_1 = 6 + 3 = 9$
$x_2 = 6 - 3 = 3$
Нулями функции являются числа 3 и 9.
Ответ: 3; 9.

2) при каких значениях аргумента функция принимает положительные значения;

Функция принимает положительные значения ($y > 0$), когда её график расположен выше оси Ox. Поскольку ветви параболы направлены вверх, а её нули — $x=3$ и $x=9$, положительные значения будут на интервалах слева от меньшего корня и справа от большего корня.
Решим неравенство:
$(x - 6)^2 - 9 > 0$
$(x - 6)^2 > 9$
$|x - 6| > 3$
Это неравенство распадается на два:
$x - 6 > 3 \implies x > 9$
$x - 6 < -3 \implies x < 3$
Таким образом, функция положительна при $x \in (-\infty, 3) \cup (9, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, 3) \cup (9, +\infty)$.

3) промежуток возрастания и промежуток убывания функции;

Вершина параболы с ветвями вверх является точкой минимума. Ось симметрии параболы — вертикальная прямая $x = 6$, проходящая через вершину.
Слева от вершины (при $x < 6$) функция убывает.
Справа от вершины (при $x > 6$) функция возрастает.
Таким образом, промежуток убывания — $(-\infty, 6]$, а промежуток возрастания — $[6, +\infty)$.
Ответ: промежуток убывания: $(-\infty, 6]$; промежуток возрастания: $[6, +\infty)$.

4) область значений функции.

Область значений — это множество всех возможных значений, которые может принимать $y$.
Поскольку график функции — это парабола с ветвями вверх, её наименьшее значение достигается в вершине. Ордината вершины равна -9.
Все остальные точки графика лежат выше, поэтому значения функции будут больше или равны -9.
Следовательно, область значений функции — это промежуток от -9 (включительно) до $+\infty$.
Ответ: $[-9, +\infty)$.