Номер 91, страница 89 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

91. Постройте график функции $f(x) = x^2 + 2x - 3$. Используя график, найдите:

1) наибольшее и наименьшее значения функции;

2) область значений функции;

3) промежуток возрастания и промежуток убывания функции;

4) множество решений неравенства $f(x) \geq 0$; $f(x) < 0$.

Для построения графика функции $f(x) = x^2 + 2x - 3$ выполним следующие шаги. Данная функция является квадратичной, её график — парабола.

1. Направление ветвей параболы. Коэффициент при $x^2$ равен $a=1$. Поскольку $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Координаты вершины параболы. Абсциссу вершины находим по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$.

   $x_v = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$.

   Для нахождения ординаты вершины подставляем значение $x_v$ в функцию:

   $y_v = f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$.

   Следовательно, вершина параболы находится в точке $(-1, -4)$.

3. Точки пересечения с осями координат.

   Для нахождения точки пересечения с осью $Oy$ (осью ординат), подставляем $x=0$:

   $f(0) = 0^2 + 2 \cdot 0 - 3 = -3$. Точка пересечения с осью $Oy$: $(0, -3)$.

   Для нахождения точек пересечения с осью $Ox$ (осью абсцисс), решаем уравнение $f(x)=0$:

   $x^2 + 2x - 3 = 0$.

   Используем теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения. Корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$.

   Точки пересечения с осью $Ox$: $(1, 0)$ и $(-3, 0)$.

Используя найденные точки: вершину $(-1, -4)$ и точки пересечения с осями $(1, 0)$, $(-3, 0)$, $(0, -3)$, строим график функции.

Используя построенный график, ответим на вопросы.

1) наибольшее и наименьшее значения функции

Поскольку ветви параболы уходят в бесконечность вверх, наибольшего значения у функции не существует. Наименьшее значение функция достигает в своей вершине. Ордината вершины равна -4.
Ответ: Наибольшего значения не существует, наименьшее значение функции равно -4.

2) область значений функции

Область значений — это множество всех значений, которые принимает функция (ось $y$). Глядя на график, видно, что функция принимает все значения от -4 (включительно) и до плюс бесконечности.
Ответ: $E(f) = [-4; +\infty)$.

3) промежуток возрастания и промежуток убывания функции

Функция убывает, когда ее график идет вниз при движении слева направо. Это происходит на промежутке от $-\infty$ до абсциссы вершины $x=-1$. Функция возрастает, когда ее график идет вверх. Это происходит на промежутке от абсциссы вершины $x=-1$ до $+\infty$.
Ответ: Функция возрастает на промежутке $[-1; +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty; -1]$.

4) множество решений неравенства $f(x) \geq 0; f(x) < 0$

Неравенство $f(x) \geq 0$ соответствует участкам графика, где он расположен на оси $Ox$ или выше неё. Это происходит на двух промежутках: от $-\infty$ до $-3$ и от $1$ до $+\infty$. Неравенство $f(x) < 0$ соответствует участку графика, где он расположен ниже оси $Ox$. Это происходит между корнями, то есть на интервале от $-3$ до $1$.
Ответ: $f(x) \geq 0$ при $x \in (-\infty; -3] \cup [1; +\infty)$; $f(x) < 0$ при $x \in (-3; 1)$.