Номер 95, страница 90 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

95. Найдите область значений и промежутки возрастания и убывания функции:

1) $f(x) = 3x^2 - 6x + 1$;

2) $f(x) = -\frac{1}{4}x^2 + 2x + 10$;

3) $f(x) = 9 - 18x - 0.6x^2$;

4) $f(x) = 11x^2 - 3x$.

1. f(x) = 3x² - 6x + 1

   Данная функция является квадратичной вида $f(x) = ax^2 + bx + c$, её график — парабола. Коэффициенты: $a = 3$, $b = -6$, $c = 1$.

   Поскольку старший коэффициент $a = 3 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Вершина параболы является точкой минимума функции.

   Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$. Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$.

   $x_v = -\frac{-6}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$.

   Ордината вершины $y_v$ — это значение функции в точке $x_v$.

   $y_v = f(1) = 3(1)^2 - 6(1) + 1 = 3 - 6 + 1 = -2$.

   Вершина параболы находится в точке $(1, -2)$. Минимальное значение функции равно $-2$.

   Следовательно, область значений функции (все возможные значения $y$): $E(f) = [-2, +\infty)$.

   Функция убывает на промежутке слева от вершины и возрастает справа от неё. Таким образом, промежуток убывания — $(-\infty, 1]$, а промежуток возрастания — $[1, +\infty)$.

   Ответ: Область значений: $E(f) = [-2, +\infty)$; промежуток возрастания: $[1, +\infty)$; промежуток убывания: $(-\infty, 1]$.

2. f(x) = -1/4 * x² + 2x + 10

   Данная функция является квадратичной вида $f(x) = ax^2 + bx + c$, её график — парабола. Коэффициенты: $a = -\frac{1}{4}$, $b = 2$, $c = 10$.

   Поскольку старший коэффициент $a = -\frac{1}{4} < 0$, ветви параболы направлены вниз. Вершина параболы является точкой максимума функции.

   Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$ по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$.

   $x_v = -\frac{2}{2 \cdot (-\frac{1}{4})} = -\frac{2}{-\frac{1}{2}} = 4$.

   Ордината вершины $y_v = f(x_v)$.

   $y_v = f(4) = -\frac{1}{4}(4)^2 + 2(4) + 10 = -4 + 8 + 10 = 14$.

   Вершина параболы находится в точке $(4, 14)$. Максимальное значение функции равно $14$.

   Следовательно, область значений функции: $E(f) = (-\infty, 14]$.

   Функция возрастает на промежутке слева от вершины и убывает справа от неё. Таким образом, промежуток возрастания — $(-\infty, 4]$, а промежуток убывания — $[4, +\infty)$.

   Ответ: Область значений: $E(f) = (-\infty, 14]$; промежуток возрастания: $(-\infty, 4]$; промежуток убывания: $[4, +\infty)$.

3. f(x) = 9 - 18x - 0,6x²

   Запишем функцию в стандартном виде $f(x) = -0.6x^2 - 18x + 9$. Это квадратичная функция, её график — парабола. Коэффициенты: $a = -0.6$, $b = -18$, $c = 9$.

   Поскольку старший коэффициент $a = -0.6 < 0$, ветви параболы направлены вниз. Вершина параболы является точкой максимума функции.

   Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$ по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$.

   $x_v = -\frac{-18}{2 \cdot (-0.6)} = \frac{18}{-1.2} = -\frac{180}{12} = -15$.

   Ордината вершины $y_v = f(x_v)$.

   $y_v = f(-15) = -0.6(-15)^2 - 18(-15) + 9 = -0.6(225) + 270 + 9 = -135 + 270 + 9 = 144$.

   Вершина параболы находится в точке $(-15, 144)$. Максимальное значение функции равно $144$.

   Следовательно, область значений функции: $E(f) = (-\infty, 144]$.

   Функция возрастает на промежутке слева от вершины и убывает справа от неё. Таким образом, промежуток возрастания — $(-\infty, -15]$, а промежуток убывания — $[-15, +\infty)$.

   Ответ: Область значений: $E(f) = (-\infty, 144]$; промежуток возрастания: $(-\infty, -15]$; промежуток убывания: $[-15, +\infty)$.

4. f(x) = 11x² - 3x

   Данная функция является квадратичной вида $f(x) = ax^2 + bx + c$, её график — парабола. Коэффициенты: $a = 11$, $b = -3$, $c = 0$.

   Поскольку старший коэффициент $a = 11 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Вершина параболы является точкой минимума функции.

   Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$ по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$.

   $x_v = -\frac{-3}{2 \cdot 11} = \frac{3}{22}$.

   Ордината вершины $y_v = f(x_v)$.

   $y_v = f(\frac{3}{22}) = 11(\frac{3}{22})^2 - 3(\frac{3}{22}) = 11 \cdot \frac{9}{484} - \frac{9}{22} = \frac{9}{44} - \frac{18}{44} = -\frac{9}{44}$.

   Вершина параболы находится в точке $(\frac{3}{22}, -\frac{9}{44})$. Минимальное значение функции равно $-\frac{9}{44}$.

   Следовательно, область значений функции: $E(f) = [-\frac{9}{44}, +\infty)$.

   Функция убывает на промежутке слева от вершины и возрастает справа от неё. Таким образом, промежуток убывания — $(-\infty, \frac{3}{22}]$, а промежуток возрастания — $[\frac{3}{22}, +\infty)$.

   Ответ: Область значений: $E(f) = [-\frac{9}{44}, +\infty)$; промежуток возрастания: $[\frac{3}{22}, +\infty)$; промежуток убывания: $(-\infty, \frac{3}{22}]$.