Номер 98, страница 90 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

98. Найдите наименьшее значение функции $y = 4x^2 + 8x - 7$ на промежутке:

1) $[-3; 4];$

2) $[-4; -2];$

3) $[-0.5; 3].$

Для нахождения наименьшего значения квадратичной функции $y = 4x^2 + 8x - 7$ на заданных промежутках, сначала определим координаты вершины параболы, которая является графиком этой функции. Поскольку коэффициент при $x^2$ положителен ($a=4 > 0$), ветви параболы направлены вверх, и в вершине функция достигает своего наименьшего значения.

Координата $x$ вершины параболы находится по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$.

В нашем случае $a=4$, $b=8$.

$x_v = -\frac{8}{2 \cdot 4} = -\frac{8}{8} = -1$.

Значение функции в вершине (координата $y$ вершины) равно:

$y_v = y(-1) = 4(-1)^2 + 8(-1) - 7 = 4 \cdot 1 - 8 - 7 = 4 - 8 - 7 = -11$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(-1, -11)$.

Теперь рассмотрим каждый промежуток отдельно.

1) [-3; 4]

Промежуток $[-3; 4]$. Координата вершины $x_v = -1$ принадлежит этому промежутку, так как $-3 \le -1 \le 4$. Поскольку вершина является точкой минимума для всей функции, то наименьшее значение на данном промежутке будет достигаться именно в вершине.

Наименьшее значение функции: $y_{min} = y_v = y(-1) = -11$.

Ответ: -11

2) [-4; -2]

Промежуток $[-4; -2]$. Координата вершины $x_v = -1$ не принадлежит этому промежутку. В этом случае наименьшее значение функции на отрезке достигается на одном из его концов. Найдем значения функции на концах промежутка:

$y(-4) = 4(-4)^2 + 8(-4) - 7 = 4 \cdot 16 - 32 - 7 = 64 - 32 - 7 = 25$.

$y(-2) = 4(-2)^2 + 8(-2) - 7 = 4 \cdot 4 - 16 - 7 = 16 - 16 - 7 = -7$.

Сравнивая эти значения, находим наименьшее: $\min(25, -7) = -7$.

Ответ: -7

3) [-0,5; 3]

Промежуток $[-0,5; 3]$. Координата вершины $x_v = -1$ не принадлежит этому промежутку. Найдем значения функции на концах промежутка:

$y(-0,5) = 4(-0,5)^2 + 8(-0,5) - 7 = 4 \cdot 0,25 - 4 - 7 = 1 - 4 - 7 = -10$.

$y(3) = 4(3)^2 + 8(3) - 7 = 4 \cdot 9 + 24 - 7 = 36 + 24 - 7 = 53$.

Сравнивая эти значения, находим наименьшее: $\min(-10, 53) = -10$.

Ответ: -10