Номер 105, страница 91 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

105. При каких значениях $a$ функция $y = 3x^2 - 12x + a$ принимает положительные значения при всех действительных значениях $x$?

Заданная функция $y = 3x^2 - 12x + a$ является квадратичной. Графиком этой функции является парабола.

Чтобы функция принимала положительные значения при всех действительных значениях $x$, необходимо, чтобы неравенство $3x^2 - 12x + a > 0$ выполнялось для любого действительного числа $x$.

Старший коэффициент квадратного трехчлена равен $3$, что больше нуля ($3 > 0$). Это означает, что ветви параболы направлены вверх.

Для того чтобы парабола с ветвями, направленными вверх, всегда находилась выше оси абсцисс (оси $Ox$), она не должна иметь с ней точек пересечения. Это равносильно тому, что соответствующее квадратное уравнение $3x^2 - 12x + a = 0$ не должно иметь действительных корней.

Квадратное уравнение не имеет действительных корней, если его дискриминант ($D$) отрицателен.

Вычислим дискриминант для уравнения $3x^2 - 12x + a = 0$. Здесь коэффициенты равны: $A=3$, $B=-12$, $C=a$.

Формула дискриминанта: $D = B^2 - 4AC$.

$D = (-12)^2 - 4 \cdot 3 \cdot a = 144 - 12a$

Теперь решим неравенство $D < 0$, чтобы найти требуемые значения $a$:

$144 - 12a < 0$

Перенесем $12a$ в правую часть:

$144 < 12a$

Разделим обе части неравенства на 12 (знак неравенства не изменится, так как 12 > 0):

$\frac{144}{12} < a$

$12 < a$

Следовательно, функция принимает положительные значения при всех действительных $x$, когда $a > 12$.

Ответ: $a > 12$.