Номер 96, страница 90 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

96. Постройте график функции:

1) $f(x) = \begin{cases} 3 - x, & \text{если } x \leq -1 \\ x^2 - 2x + 1, & \text{если } -1 < x < 3 \\ 4, & \text{если } x \geq 3 \end{cases}$

2) $f(x) = \begin{cases} 3x - 4, & \text{если } x \leq 2 \\ 9 - x^2, & \text{если } 2 < x < 4 \\ x, & \text{если } x \geq 4 \end{cases}$

Для построения графика функции $f(x) = \begin{cases} 3 - x, & \text{если } x \le -1 \\ x^2 - 2x + 1, & \text{если } -1 < x < 3 \\ 4, & \text{если } x \ge 3 \end{cases}$ разобьем задачу на три части, соответствующие каждому интервалу.

I. Построение графика $y = 3 - x$ на интервале $x \le -1$.

Это линейная функция, ее график — прямая линия. Для построения прямой достаточно двух точек. Найдем значение функции на границе интервала:
При $x = -1$, $y = 3 - (-1) = 4$. Точка $(-1, 4)$ принадлежит графику (закрашенная точка).

Возьмем еще одну точку из этого интервала, например, $x = -3$:
$y = 3 - (-3) = 6$. Точка $(-3, 6)$.

Таким образом, на интервале $(-\infty, -1]$ график представляет собой луч, выходящий из точки $(-1, 4)$ и проходящий через точку $(-3, 6)$.

II. Построение графика $y = x^2 - 2x + 1$ на интервале $-1 < x < 3$.

Это квадратичная функция. Выражение можно упростить, используя формулу квадрата разности: $x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$. Графиком является парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке, где $x - 1 = 0$, то есть $x = 1$.

Координаты вершины: $x_v = 1$, $y_v = (1-1)^2 = 0$. Точка вершины $(1, 0)$. Эта точка принадлежит интервалу $(-1, 3)$.

Найдем значения функции на границах интервала (эти точки будут выколотыми, так как неравенства строгие):
При $x \to -1$, $y \to (-1-1)^2 = (-2)^2 = 4$. Точка $(-1, 4)$ (выколотая).
При $x \to 3$, $y \to (3-1)^2 = 2^2 = 4$. Точка $(3, 4)$ (выколотая).

На интервале $(-1, 3)$ график — это часть параболы с вершиной в $(1, 0)$, проходящая между выколотыми точками $(-1, 4)$ и $(3, 4)$.

III. Построение графика $y = 4$ на интервале $x \ge 3$.

Это постоянная функция, ее график — горизонтальная прямая.
При $x = 3$, $y = 4$. Точка $(3, 4)$ принадлежит графику (закрашенная).

На интервале $[3, +\infty)$ график представляет собой горизонтальный луч, выходящий из точки $(3, 4)$ вправо.

Объединение графиков.

Совместим все три части на одной координатной плоскости. В точке $x=-1$ значение функции $f(-1) = 4$, а предел справа $\lim_{x\to -1^+} f(x) = 4$. Следовательно, в этой точке функция непрерывна. Выколотая точка $(-1, 4)$ от параболы "закрашивается" точкой от луча.

Аналогично, в точке $x=3$ предел слева $\lim_{x\to 3^-} f(x) = 4$, а значение функции $f(3)=4$. Функция непрерывна и в этой точке. Выколотая точка $(3, 4)$ от параболы "закрашивается" точкой от горизонтального луча.

Ответ: График функции представляет собой непрерывную линию. На интервале $(-\infty, -1]$ это луч, идущий из точки $(-1, 4)$ вверх и влево. На интервале $(-1, 3)$ это дуга параболы с вершиной в точке $(1, 0)$, соединяющая точки $(-1, 4)$ и $(3, 4)$. На интервале $[3, +\infty)$ это горизонтальный луч $y=4$, идущий из точки $(3, 4)$ вправо.

Для построения графика функции $f(x) = \begin{cases} 3x - 4, & \text{если } x \le 2 \\ 9 - x^2, & \text{если } 2 < x < 4 \\ x, & \text{если } x \ge 4 \end{cases}$ также рассмотрим каждый интервал отдельно.

I. Построение графика $y = 3x - 4$ на интервале $x \le 2$.

Это линейная функция, ее график — прямая линия. Найдем две точки.
На границе интервала при $x = 2$:
$y = 3(2) - 4 = 6 - 4 = 2$. Точка $(2, 2)$ принадлежит графику (закрашенная).
Возьмем еще одну точку, например, $x = 0$:
$y = 3(0) - 4 = -4$. Точка $(0, -4)$.

График на интервале $(-\infty, 2]$ — это луч, заканчивающийся в точке $(2, 2)$ и проходящий через точку $(0, -4)$.

II. Построение графика $y = 9 - x^2$ на интервале $2 < x < 4$.

Это квадратичная функция, график — парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $x_v = 0$, $y_v = 9 - 0^2 = 9$. Точка $(0, 9)$. Эта точка не принадлежит интервалу $(2, 4)$.

Найдем значения на границах интервала (точки будут выколотыми):
При $x \to 2$, $y \to 9 - 2^2 = 9 - 4 = 5$. Точка $(2, 5)$ (выколотая).
При $x \to 4$, $y \to 9 - 4^2 = 9 - 16 = -7$. Точка $(4, -7)$ (выколотая).

На интервале $(2, 4)$ график — это дуга параболы, соединяющая выколотые точки $(2, 5)$ и $(4, -7)$.

III. Построение графика $y = x$ на интервале $x \ge 4$.

Это линейная функция, ее график — прямая, проходящая через начало координат под углом 45 градусов.
На границе интервала при $x = 4$:
$y = 4$. Точка $(4, 4)$ принадлежит графику (закрашенная).
Возьмем еще одну точку, например, $x = 5$:
$y = 5$. Точка $(5, 5)$.

График на интервале $[4, +\infty)$ — это луч, выходящий из точки $(4, 4)$ и проходящий через точку $(5, 5)$.

Объединение графиков.

Совместим все три части на одной координатной плоскости. В точке $x=2$ график терпит разрыв: значение функции слева равно $2$ (точка $(2, 2)$ закрашена), а предел справа равен $5$ (точка $(2, 5)$ выколота). Это разрыв первого рода (скачок).

В точке $x=4$ также наблюдается разрыв: предел функции слева равен $-7$ (точка $(4, -7)$ выколота), а значение справа равно $4$ (точка $(4, 4)$ закрашена). Это также разрыв первого рода (скачок).

Ответ: График функции состоит из трех отдельных частей. На интервале $(-\infty, 2]$ это луч прямой $y=3x-4$, заканчивающийся в точке $(2, 2)$. На интервале $(2, 4)$ это дуга параболы $y=9-x^2$, идущая от точки $(2, 5)$ до точки $(4, -7)$ (концы выколоты). На интервале $[4, +\infty)$ это луч прямой $y=x$, начинающийся в точке $(4, 4)$.