Номер 90, страница 89 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

1) $y = x^2 - 5x + 6$

Это квадратичная функция, график которой — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a=1$, так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы $(x_0; y_0)$:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-5}{2 \cdot 1} = \frac{5}{2} = 2,5$.
$y_0 = (2,5)^2 - 5 \cdot (2,5) + 6 = 6,25 - 12,5 + 6 = -0,25$.
Координаты вершины: $(2,5; -0,25)$. Ось симметрии параболы — прямая $x = 2,5$.

Найдем точки пересечения графика с осями координат:
С осью OY: при $x=0$, $y = 0^2 - 5 \cdot 0 + 6 = 6$. Точка пересечения — $(0; 6)$.
С осью OX: при $y=0$, решаем уравнение $x^2 - 5x + 6 = 0$.
По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.
Точки пересечения — $(2; 0)$ и $(3; 0)$.

Для более точного построения найдем еще несколько точек. Возьмем точку, симметричную точке $(0; 6)$ относительно оси симметрии $x=2,5$. Ее абсцисса будет $x = 2,5 + (2,5-0) = 5$. Ордината та же, $y=6$. Точка $(5; 6)$.

Ответ: График функции $y = x^2 - 5x + 6$ — это парабола с ветвями, направленными вверх. Вершина параболы находится в точке $(2,5; -0,25)$. График пересекает ось OY в точке $(0; 6)$ и ось OX в точках $(2; 0)$ и $(3; 0)$.

2) $y = -x^2 + 4x - 3$

Это квадратичная функция, график которой — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a=-1$, так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Найдем координаты вершины параболы $(x_0; y_0)$:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = 2$.
$y_0 = -(2)^2 + 4 \cdot 2 - 3 = -4 + 8 - 3 = 1$.
Координаты вершины: $(2; 1)$. Ось симметрии параболы — прямая $x = 2$.

Найдем точки пересечения графика с осями координат:
С осью OY: при $x=0$, $y = -0^2 + 4 \cdot 0 - 3 = -3$. Точка пересечения — $(0; -3)$.
С осью OX: при $y=0$, решаем уравнение $-x^2 + 4x - 3 = 0$, или $x^2 - 4x + 3 = 0$.
По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.
Точки пересечения — $(1; 0)$ и $(3; 0)$.

Симметричная точке $(0; -3)$ относительно оси $x=2$ будет точка $(4; -3)$.

Ответ: График функции $y = -x^2 + 4x - 3$ — это парабола с ветвями, направленными вниз. Вершина параболы находится в точке $(2; 1)$. График пересекает ось OY в точке $(0; -3)$ и ось OX в точках $(1; 0)$ и $(3; 0)$.

3) $y = \frac{1}{3}x^2 - 2x + 3$

Это квадратичная функция, график которой — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a=\frac{1}{3}$, так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы $(x_0; y_0)$:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot \frac{1}{3}} = \frac{2}{\frac{2}{3}} = 3$.
$y_0 = \frac{1}{3}(3)^2 - 2 \cdot 3 + 3 = \frac{1}{3} \cdot 9 - 6 + 3 = 3 - 6 + 3 = 0$.
Координаты вершины: $(3; 0)$. Ось симметрии — прямая $x=3$.

Найдем точки пересечения графика с осями координат:
С осью OY: при $x=0$, $y = \frac{1}{3} \cdot 0^2 - 2 \cdot 0 + 3 = 3$. Точка пересечения — $(0; 3)$.
С осью OX: так как ордината вершины $y_0=0$, парабола касается оси OX в одной точке — своей вершине. Точка пересечения — $(3; 0)$.

Симметричная точке $(0; 3)$ относительно оси $x=3$ будет точка $(6; 3)$.

Ответ: График функции $y = \frac{1}{3}x^2 - 2x + 3$ — это парабола с ветвями, направленными вверх. Вершина параболы находится в точке $(3; 0)$ и в этой же точке график касается оси OX. График пересекает ось OY в точке $(0; 3)$.

4) $y = 2x^2 - 4x + 2$

Это квадратичная функция, график которой — парабола. Коэффициент $a=2$, $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. Можно заметить, что $y = 2(x^2 - 2x + 1) = 2(x-1)^2$.

Найдем координаты вершины параболы $(x_0; y_0)$:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = 1$.
$y_0 = 2(1)^2 - 4 \cdot 1 + 2 = 2 - 4 + 2 = 0$.
Координаты вершины: $(1; 0)$. Ось симметрии — прямая $x=1$.

Найдем точки пересечения графика с осями координат:
С осью OY: при $x=0$, $y = 2 \cdot 0^2 - 4 \cdot 0 + 2 = 2$. Точка пересечения — $(0; 2)$.
С осью OX: решаем уравнение $2(x-1)^2 = 0$, откуда $x-1=0$, $x=1$. Парабола касается оси OX в своей вершине $(1; 0)$.

Симметричная точке $(0; 2)$ относительно оси $x=1$ будет точка $(2; 2)$.

Ответ: График функции $y = 2x^2 - 4x + 2$ — это парабола с ветвями, направленными вверх. Вершина параболы находится в точке $(1; 0)$, где она касается оси OX. График пересекает ось OY в точке $(0; 2)$.

5) $y = 2x + x^2$

Запишем функцию в стандартном виде: $y = x^2 + 2x$. Это парабола. Коэффициент $a=1$, $a > 0$, ветви направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы $(x_0; y_0)$:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$.
$y_0 = (-1)^2 + 2 \cdot (-1) = 1 - 2 = -1$.
Координаты вершины: $(-1; -1)$. Ось симметрии — прямая $x=-1$.

Найдем точки пересечения графика с осями координат:
С осью OY: при $x=0$, $y = 0^2 + 2 \cdot 0 = 0$. Точка пересечения — $(0; 0)$ (начало координат).
С осью OX: при $y=0$, решаем уравнение $x^2 + 2x = 0$, или $x(x+2)=0$.
Корни $x_1 = 0$ и $x_2 = -2$.
Точки пересечения — $(0; 0)$ и $(-2; 0)$.

Ответ: График функции $y = 2x + x^2$ — это парабола с ветвями, направленными вверх. Вершина параболы находится в точке $(-1; -1)$. График проходит через начало координат $(0; 0)$ и пересекает ось OX также в точке $(-2; 0)$.

6) $y = 9 - x^2$

Запишем функцию в стандартном виде: $y = -x^2 + 9$. Это парабола. Коэффициент $a=-1$, $a < 0$, ветви направлены вниз.

Найдем координаты вершины параболы $(x_0; y_0)$:
Коэффициент $b=0$, поэтому $x_0 = -\frac{0}{2 \cdot (-1)} = 0$.
$y_0 = 9 - 0^2 = 9$.
Координаты вершины: $(0; 9)$. Ось симметрии — ось OY (прямая $x=0$).

Найдем точки пересечения графика с осями координат:
С осью OY: вершина параболы лежит на оси OY, точка пересечения — $(0; 9)$.
С осью OX: при $y=0$, решаем уравнение $9 - x^2 = 0$, откуда $x^2 = 9$.
Корни $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.
Точки пересечения — $(3; 0)$ и $(-3; 0)$.

Ответ: График функции $y = 9 - x^2$ — это парабола с ветвями, направленными вниз. Вершина параболы находится в точке $(0; 9)$ на оси OY. График пересекает ось OX в точках $(3; 0)$ и $(-3; 0)$.

7) $y = -0,5x^2 + 2x + 2$

Это квадратичная функция, график которой — парабола. Коэффициент $a=-0,5$, $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Найдем координаты вершины параболы $(x_0; y_0)$:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-0,5)} = -\frac{2}{-1} = 2$.
$y_0 = -0,5 \cdot (2)^2 + 2 \cdot 2 + 2 = -0,5 \cdot 4 + 4 + 2 = -2 + 4 + 2 = 4$.
Координаты вершины: $(2; 4)$. Ось симметрии — прямая $x=2$.

Найдем точки пересечения графика с осями координат:
С осью OY: при $x=0$, $y = -0,5 \cdot 0^2 + 2 \cdot 0 + 2 = 2$. Точка пересечения — $(0; 2)$.
С осью OX: при $y=0$, решаем уравнение $-0,5x^2 + 2x + 2 = 0$. Умножим на -2: $x^2 - 4x - 4 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 16 + 16 = 32$.
Корни $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{4 \pm 4\sqrt{2}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{2}$.
$x_1 = 2 - 2\sqrt{2} \approx -0,83$, $x_2 = 2 + 2\sqrt{2} \approx 4,83$.
Точки пересечения: $(2 - 2\sqrt{2}; 0)$ и $(2 + 2\sqrt{2}; 0)$.

Ответ: График функции $y = -0,5x^2 + 2x + 2$ — это парабола с ветвями, направленными вниз. Вершина параболы находится в точке $(2; 4)$. График пересекает ось OY в точке $(0; 2)$ и ось OX в точках $(2 - 2\sqrt{2}; 0)$ и $(2 + 2\sqrt{2}; 0)$.

8) $y = x^2 - 6x + 4$

Это квадратичная функция, график которой — парабола. Коэффициент $a=1$, $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы $(x_0; y_0)$:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3$.
$y_0 = (3)^2 - 6 \cdot 3 + 4 = 9 - 18 + 4 = -5$.
Координаты вершины: $(3; -5)$. Ось симметрии — прямая $x=3$.

Найдем точки пересечения графика с осями координат:
С осью OY: при $x=0$, $y = 0^2 - 6 \cdot 0 + 4 = 4$. Точка пересечения — $(0; 4)$.
С осью OX: при $y=0$, решаем уравнение $x^2 - 6x + 4 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 36 - 16 = 20$.
Корни $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 3 \pm \sqrt{5}$.
$x_1 = 3 - \sqrt{5} \approx 0,76$, $x_2 = 3 + \sqrt{5} \approx 5,24$.
Точки пересечения: $(3 - \sqrt{5}; 0)$ и $(3 + \sqrt{5}; 0)$.

Ответ: График функции $y = x^2 - 6x + 4$ — это парабола с ветвями, направленными вверх. Вершина параболы находится в точке $(3; -5)$. График пересекает ось OY в точке $(0; 4)$ и ось OX в точках $(3 - \sqrt{5}; 0)$ и $(3 + \sqrt{5}; 0)$.