Страница 89 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

86. Постройте график функции $y = \sqrt{x}$. Используя этот график, постройте график функции:

1) $y = \sqrt{x} + 1$;

2) $y = \sqrt{x - 2}$;

3) $y = 1 + \sqrt{x + 2}$.

Для построения графиков заданных функций сначала построим базовый график функции $y = \sqrt{x}$.

Область определения этой функции — все неотрицательные числа, то есть $x \ge 0$.

Составим таблицу значений для нескольких ключевых точек:

• если $x=0$, то $y=\sqrt{0}=0$ → точка (0, 0)
• если $x=1$, то $y=\sqrt{1}=1$ → точка (1, 1)
• если $x=4$, то $y=\sqrt{4}=2$ → точка (4, 2)
• если $x=9$, то $y=\sqrt{9}=3$ → точка (9, 3)

График функции $y = \sqrt{x}$ — это ветвь параболы, которая начинается в точке (0, 0) и проходит через указанные точки в первой координатной четверти.

Далее, используя этот базовый график, построим графики остальных функций с помощью геометрических преобразований.

1) $y = \sqrt{x+1}$

График функции $y = f(x+a)$ получается из графика функции $y = f(x)$ сдвигом вдоль оси абсцисс (Ox) на $a$ единиц влево. В нашем случае $f(x) = \sqrt{x}$ и $a=1$.

Следовательно, чтобы построить график функции $y = \sqrt{x+1}$, нужно сдвинуть график функции $y = \sqrt{x}$ на 1 единицу влево вдоль оси Ox.

Ключевые точки смещаются следующим образом:

• (0, 0) → (-1, 0)
• (1, 1) → (0, 1)
• (4, 2) → (3, 2)

Ответ: График функции $y = \sqrt{x+1}$ получается путем параллельного переноса графика $y = \sqrt{x}$ на 1 единицу влево вдоль оси Ox.

2) $y = \sqrt{x-2}$

График функции $y = f(x-a)$ получается из графика функции $y = f(x)$ сдвигом вдоль оси абсцисс (Ox) на $a$ единиц вправо. В нашем случае $f(x) = \sqrt{x}$ и $a=2$.

Следовательно, чтобы построить график функции $y = \sqrt{x-2}$, нужно сдвинуть график функции $y = \sqrt{x}$ на 2 единицы вправо вдоль оси Ox.

Ключевые точки смещаются следующим образом:

• (0, 0) → (2, 0)
• (1, 1) → (3, 1)
• (4, 2) → (6, 2)

Ответ: График функции $y = \sqrt{x-2}$ получается путем параллельного переноса графика $y = \sqrt{x}$ на 2 единицы вправо вдоль оси Ox.

3) $y = 1 + \sqrt{x+2}$

Для построения этого графика нужно выполнить два последовательных преобразования графика $y = \sqrt{x}$:

1. Сначала построить график $y = \sqrt{x+2}$, сдвинув график $y = \sqrt{x}$ на 2 единицы влево вдоль оси Ox.
2. Затем построить график $y = 1 + \sqrt{x+2}$, сдвинув полученный на первом шаге график $y = \sqrt{x+2}$ на 1 единицу вверх вдоль оси ординат (Oy).

Общее преобразование заключается в сдвиге каждой точки $(x, y)$ графика $y = \sqrt{x}$ на вектор $(-2, 1)$.

Ключевые точки смещаются следующим образом:

• (0, 0) → (0-2, 0+1) → (-2, 1)
• (1, 1) → (1-2, 1+1) → (-1, 2)
• (4, 2) → (4-2, 2+1) → (2, 3)

Ответ: График функции $y = 1 + \sqrt{x+2}$ получается путем параллельного переноса графика $y = \sqrt{x}$ на 2 единицы влево вдоль оси Ox и на 1 единицу вверх вдоль оси Oy.

87. Постройте график функции $y = -\sqrt{x}$. Используя этот график, постройте график функции:

1) $y = -1 - \sqrt{x}$;

2) $y = 3 - \sqrt{x - 2}$.

Сначала построим график базовой функции $y = -\sqrt{x}$.

Этот график является симметричным отражением графика функции $y = \sqrt{x}$ относительно оси абсцисс (оси Ox). Область определения функции: $x \ge 0$. Область значений: $y \le 0$.

Для построения найдем несколько ключевых точек:

• Если $x=0$, то $y = -\sqrt{0} = 0$. Точка (0; 0).
• Если $x=1$, то $y = -\sqrt{1} = -1$. Точка (1; -1).
• Если $x=4$, то $y = -\sqrt{4} = -2$. Точка (4; -2).
• Если $x=9$, то $y = -\sqrt{9} = -3$. Точка (9; -3).

Соединив эти точки плавной линией, получим график функции $y = -\sqrt{x}$. Это ветвь параболы, направленная вправо и вниз, с вершиной в начале координат.

Теперь, используя этот базовый график, построим графики заданных функций.

1) $y = -1 - \sqrt{x}$

Данную функцию можно переписать в виде $y = (-\sqrt{x}) - 1$. Сравнивая с базовой функцией $f(x) = -\sqrt{x}$, мы видим, что новая функция имеет вид $y = f(x) - 1$.

Это означает, что график функции $y = -1 - \sqrt{x}$ получается из графика функции $y = -\sqrt{x}$ путем параллельного переноса (сдвига) на 1 единицу вниз вдоль оси ординат (оси Oy).

Чтобы построить новый график, нужно каждую точку графика $y = -\sqrt{x}$ сместить на 1 единицу вниз. Найдем новые координаты для наших ключевых точек:

• Точка (0; 0) смещается в (0; 0 - 1) = (0; -1).
• Точка (1; -1) смещается в (1; -1 - 1) = (1; -2).
• Точка (4; -2) смещается в (4; -2 - 1) = (4; -3).
• Точка (9; -3) смещается в (9; -3 - 1) = (9; -4).

Соединив полученные точки, мы получим искомый график.

Ответ: График функции $y = -1 - \sqrt{x}$ получается из графика функции $y = -\sqrt{x}$ путем сдвига на 1 единицу вниз вдоль оси Oy.

2) $y = 3 - \sqrt{x-2}$

Перепишем функцию в более удобном для анализа виде: $y = -\sqrt{x-2} + 3$.

График этой функции получается из графика базовой функции $y = -\sqrt{x}$ с помощью двух последовательных преобразований:

1. Замена $x$ на $(x-2)$ приводит к сдвигу графика на 2 единицы вправо вдоль оси абсцисс (оси Ox). Получаем промежуточный график $y = -\sqrt{x-2}$.
2. Прибавление 3 к функции $(-\sqrt{x-2})$ приводит к сдвигу графика на 3 единицы вверх вдоль оси ординат (оси Oy).

Таким образом, чтобы построить график функции $y = 3 - \sqrt{x-2}$, нужно график $y = -\sqrt{x}$ целиком сдвинуть на 2 единицы вправо и на 3 единицы вверх.

Применим эти сдвиги к ключевым точкам базового графика:

• Вершина (0; 0) перемещается в точку (0 + 2; 0 + 3) = (2; 3).
• Точка (1; -1) перемещается в точку (1 + 2; -1 + 3) = (3; 2).
• Точка (4; -2) перемещается в точку (4 + 2; -2 + 3) = (6; 1).
• Точка (9; -3) перемещается в точку (9 + 2; -3 + 3) = (11; 0).

Соединив эти новые точки плавной кривой, получим график искомой функции. Область определения новой функции: $x-2 \ge 0$, то есть $x \ge 2$.

Ответ: График функции $y = 3 - \sqrt{x-2}$ получается из графика функции $y = -\sqrt{x}$ путем параллельного переноса на 2 единицы вправо вдоль оси Ox и на 3 единицы вверх вдоль оси Oy.

88. Постройте график функции $y = \frac{12}{x}$. Используя этот график, постройте график функции:

1) $y = \frac{12}{x} - 2;$

2) $y = \frac{12}{x - 3};$

3) $y = \frac{12}{x + 1} + 1;$

4) $y = \frac{3x + 12}{x};$

5) $y = \frac{2x - 16}{x - 2}.$

Сначала построим график базовой функции $y = \frac{12}{x}$.

Это гипербола, состоящая из двух ветвей. Область определения функции: $x \ne 0$. Область значений: $y \ne 0$.

Осями симметрии для графика являются прямые $y=x$ и $y=-x$. Центр симметрии — начало координат $(0, 0)$.

Асимптоты графика:

• Вертикальная асимптота: $x=0$ (ось Oy)
• Горизонтальная асимптота: $y=0$ (ось Ox)

Поскольку коэффициент $k=12 > 0$, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях.

Для построения составим таблицу значений для нескольких точек:

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавными линиями, получим график функции $y = \frac{12}{x}$. Теперь, используя этот график, построим графики остальных функций с помощью геометрических преобразований.

1) $y = \frac{12}{x} - 2$

График этой функции можно получить из графика функции $y = \frac{12}{x}$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси $Oy$ на 2 единицы вниз. Каждая точка графика $(x_0, y_0)$ перейдет в точку $(x_0, y_0 - 2)$.

Вертикальная асимптота останется прежней: $x=0$.

Горизонтальная асимптота сдвинется на 2 единицы вниз и станет $y=-2$.

Ответ: График функции $y = \frac{12}{x} - 2$ получается из графика $y = \frac{12}{x}$ сдвигом на 2 единицы вниз вдоль оси ординат.

2) $y = \frac{12}{x-3}$

График этой функции можно получить из графика функции $y = \frac{12}{x}$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси $Ox$ на 3 единицы вправо. Каждая точка графика $(x_0, y_0)$ перейдет в точку $(x_0+3, y_0)$.

Вертикальная асимптота сдвинется на 3 единицы вправо и станет $x=3$.

Горизонтальная асимптота останется прежней: $y=0$.

Ответ: График функции $y = \frac{12}{x-3}$ получается из графика $y = \frac{12}{x}$ сдвигом на 3 единицы вправо вдоль оси абсцисс.

3) $y = \frac{12}{x+1} + 1$

График этой функции можно получить из графика функции $y = \frac{12}{x}$ с помощью двух параллельных переносов:

1. Сдвиг вдоль оси $Ox$ на 1 единицу влево (так как $x+1 = x - (-1)$).
2. Сдвиг вдоль оси $Oy$ на 1 единицу вверх.

Каждая точка графика $(x_0, y_0)$ перейдет в точку $(x_0-1, y_0+1)$.

Вертикальная асимптота сдвинется на 1 единицу влево: $x=-1$.

Горизонтальная асимптота сдвинется на 1 единицу вверх: $y=1$.

Ответ: График функции $y = \frac{12}{x+1} + 1$ получается из графика $y = \frac{12}{x}$ сдвигом на 1 единицу влево вдоль оси абсцисс и на 1 единицу вверх вдоль оси ординат.

4) $y = \frac{3x+12}{x}$

Сначала преобразуем выражение, разделив числитель почленно на знаменатель:

$y = \frac{3x}{x} + \frac{12}{x} = 3 + \frac{12}{x}$

Таким образом, мы получили функцию $y = \frac{12}{x} + 3$.

График этой функции можно получить из графика функции $y = \frac{12}{x}$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси $Oy$ на 3 единицы вверх. Каждая точка графика $(x_0, y_0)$ перейдет в точку $(x_0, y_0 + 3)$.

Вертикальная асимптота останется прежней: $x=0$.

Горизонтальная асимптота сдвинется на 3 единицы вверх и станет $y=3$.

Ответ: График функции $y = \frac{3x+12}{x}$ получается из графика $y = \frac{12}{x}$ сдвигом на 3 единицы вверх вдоль оси ординат.

5) $y = \frac{2x-16}{x-2}$

Преобразуем выражение, выделив целую часть дроби:

$y = \frac{2x-4-12}{x-2} = \frac{2(x-2)-12}{x-2} = \frac{2(x-2)}{x-2} - \frac{12}{x-2} = 2 - \frac{12}{x-2}$

Таким образом, мы получили функцию $y = -\frac{12}{x-2} + 2$.

График этой функции можно получить из графика $y = \frac{12}{x}$ в несколько шагов:

1. Сначала строим график $y = \frac{12}{x}$.
2. Затем отражаем его симметрично относительно оси $Ox$ (или $Oy$), чтобы получить график функции $y = -\frac{12}{x}$. Ветви этой гиперболы будут находиться во II и IV координатных четвертях.
3. Далее сдвигаем полученный график на 2 единицы вправо вдоль оси $Ox$, чтобы получить график функции $y = -\frac{12}{x-2}$.
4. И, наконец, сдвигаем последний график на 2 единицы вверх вдоль оси $Oy$, чтобы получить итоговый график функции $y = -\frac{12}{x-2} + 2$.

Новые асимптоты:

• Вертикальная асимптота: $x=2$.
• Горизонтальная асимптота: $y=2$.

Ответ: График функции $y = \frac{2x-16}{x-2}$ получается из графика $y = \frac{12}{x}$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс, сдвига на 2 единицы вправо вдоль оси абсцисс и на 2 единицы вверх вдоль оси ординат.

89. Определите направление ветвей и координаты вершины параболы:

1) $y = x^2 - 10x - 3$;

2) $y = -x^2 - 5x + 3$;

3) $y = 0.4x^2 + 0.8x - 0.12$;

4) $y = -2x^2 - 8x + 5$.

Для определения направления ветвей и координат вершины параболы, заданной уравнением $y = ax^2 + bx + c$, используются следующие правила:

• Направление ветвей определяется знаком коэффициента $a$. Если $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. Если $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.
• Координаты вершины $(x_v, y_v)$ вычисляются по формулам: абсцисса $x_v = -\frac{b}{2a}$, а ордината $y_v$ находится подстановкой $x_v$ в исходное уравнение параболы: $y_v = a(x_v)^2 + b(x_v) + c$.

1) $y = x^2 - 10x - 3$

В данном уравнении коэффициенты: $a = 1$, $b = -10$, $c = -3$.
Так как коэффициент $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
Теперь найдем координаты вершины. Сначала вычислим абсциссу вершины:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-10}{2 \cdot 1} = \frac{10}{2} = 5$.
Далее подставим значение $x_v = 5$ в уравнение параболы, чтобы найти ординату вершины:
$y_v = (5)^2 - 10 \cdot 5 - 3 = 25 - 50 - 3 = -28$.
Таким образом, координаты вершины параболы: $(5; -28)$.
Ответ: ветви направлены вверх, вершина в точке $(5; -28)$.

2) $y = -x^2 - 5x + 3$

Коэффициенты уравнения: $a = -1$, $b = -5$, $c = 3$.
Так как коэффициент $a = -1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.
Вычислим абсциссу вершины:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-5}{2 \cdot (-1)} = -\frac{5}{2} = -2,5$.
Подставим $x_v = -2,5$ в уравнение, чтобы найти ординату вершины:
$y_v = -(-2,5)^2 - 5 \cdot (-2,5) + 3 = -6,25 + 12,5 + 3 = 9,25$.
Координаты вершины параболы: $(-2,5; 9,25)$.
Ответ: ветви направлены вниз, вершина в точке $(-2,5; 9,25)$.

3) $y = 0,4x^2 + 0,8x - 0,12$

Коэффициенты уравнения: $a = 0,4$, $b = 0,8$, $c = -0,12$.
Так как коэффициент $a = 0,4 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
Вычислим абсциссу вершины:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{0,8}{2 \cdot 0,4} = -\frac{0,8}{0,8} = -1$.
Подставим $x_v = -1$ в уравнение, чтобы найти ординату вершины:
$y_v = 0,4(-1)^2 + 0,8 \cdot (-1) - 0,12 = 0,4 \cdot 1 - 0,8 - 0,12 = 0,4 - 0,8 - 0,12 = -0,52$.
Координаты вершины параболы: $(-1; -0,52)$.
Ответ: ветви направлены вверх, вершина в точке $(-1; -0,52)$.

4) $y = -2x^2 - 8x + 5$

Коэффициенты уравнения: $a = -2$, $b = -8$, $c = 5$.
Так как коэффициент $a = -2 < 0$, ветви параболы направлены вниз.
Вычислим абсциссу вершины:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{2 \cdot (-2)} = -\frac{-8}{-4} = -2$.
Подставим $x_v = -2$ в уравнение, чтобы найти ординату вершины:
$y_v = -2(-2)^2 - 8 \cdot (-2) + 5 = -2 \cdot 4 + 16 + 5 = -8 + 16 + 5 = 13$.
Координаты вершины параболы: $(-2; 13)$.
Ответ: ветви направлены вниз, вершина в точке $(-2; 13)$.

90. Постройте график функции:

1) $y = x^2 - 5x + 6;$

2) $y = -x^2 + 4x - 3;$

3) $y = \frac{1}{3}x^2 - 2x + 3;$

4) $y = 2x^2 - 4x + 2;$

5) $y = 2x + x^2;$

6) $y = 9 - x^2;$

7) $y = -0.5x^2 + 2x + 2;$

8) $y = x^2 - 6x + 4.$

91. Постройте график функции $f(x) = x^2 + 2x - 3$. Используя график, найдите:

1) наибольшее и наименьшее значения функции;

2) область значений функции;

3) промежуток возрастания и промежуток убывания функции;

4) множество решений неравенства $f(x) \geq 0$; $f(x) < 0$.

Для построения графика функции $f(x) = x^2 + 2x - 3$ выполним следующие шаги. Данная функция является квадратичной, её график — парабола.

1. Направление ветвей параболы. Коэффициент при $x^2$ равен $a=1$. Поскольку $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Координаты вершины параболы. Абсциссу вершины находим по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$.

   $x_v = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$.

   Для нахождения ординаты вершины подставляем значение $x_v$ в функцию:

   $y_v = f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$.

   Следовательно, вершина параболы находится в точке $(-1, -4)$.

3. Точки пересечения с осями координат.

   Для нахождения точки пересечения с осью $Oy$ (осью ординат), подставляем $x=0$:

   $f(0) = 0^2 + 2 \cdot 0 - 3 = -3$. Точка пересечения с осью $Oy$: $(0, -3)$.

   Для нахождения точек пересечения с осью $Ox$ (осью абсцисс), решаем уравнение $f(x)=0$:

   $x^2 + 2x - 3 = 0$.

   Используем теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения. Корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$.

   Точки пересечения с осью $Ox$: $(1, 0)$ и $(-3, 0)$.

Используя найденные точки: вершину $(-1, -4)$ и точки пересечения с осями $(1, 0)$, $(-3, 0)$, $(0, -3)$, строим график функции.

Используя построенный график, ответим на вопросы.

1) наибольшее и наименьшее значения функции

Поскольку ветви параболы уходят в бесконечность вверх, наибольшего значения у функции не существует. Наименьшее значение функция достигает в своей вершине. Ордината вершины равна -4.
Ответ: Наибольшего значения не существует, наименьшее значение функции равно -4.

2) область значений функции

Область значений — это множество всех значений, которые принимает функция (ось $y$). Глядя на график, видно, что функция принимает все значения от -4 (включительно) и до плюс бесконечности.
Ответ: $E(f) = [-4; +\infty)$.

3) промежуток возрастания и промежуток убывания функции

Функция убывает, когда ее график идет вниз при движении слева направо. Это происходит на промежутке от $-\infty$ до абсциссы вершины $x=-1$. Функция возрастает, когда ее график идет вверх. Это происходит на промежутке от абсциссы вершины $x=-1$ до $+\infty$.
Ответ: Функция возрастает на промежутке $[-1; +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty; -1]$.

4) множество решений неравенства $f(x) \geq 0; f(x) < 0$

Неравенство $f(x) \geq 0$ соответствует участкам графика, где он расположен на оси $Ox$ или выше неё. Это происходит на двух промежутках: от $-\infty$ до $-3$ и от $1$ до $+\infty$. Неравенство $f(x) < 0$ соответствует участку графика, где он расположен ниже оси $Ox$. Это происходит между корнями, то есть на интервале от $-3$ до $1$.
Ответ: $f(x) \geq 0$ при $x \in (-\infty; -3] \cup [1; +\infty)$; $f(x) < 0$ при $x \in (-3; 1)$.

92. Постройте график функции $f(x) = 4x - 2x^2$. Используя график, найдите:

1) наибольшее и наименьшее значения функции;

2) область значений функции;

3) промежуток возрастания и промежуток убывания функции;

4) множество решений неравенства $f(x) \le 0$; $f(x) > 0$.

Для решения задачи построим график функции $f(x) = 4x - 2x^2$.

Это квадратичная функция, её график — парабола. Запишем функцию в стандартном виде $f(x) = -2x^2 + 4x$.

1. Определим направление ветвей параболы. Коэффициент при $x^2$ равен -2 ($a = -2$). Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.
Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-2)} = -\frac{4}{-4} = 1$.
Ордината вершины: $y_0 = f(x_0) = f(1) = 4(1) - 2(1)^2 = 4 - 2 = 2$.
Таким образом, вершина параболы находится в точке $(1, 2)$.

3. Найдем точки пересечения графика с осями координат.
С осью Oy (x=0): $f(0) = 4(0) - 2(0)^2 = 0$. Точка пересечения — $(0, 0)$.
С осью Ox (y=0): $4x - 2x^2 = 0 \implies 2x(2-x) = 0$. Корни уравнения: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$. Точки пересечения — $(0, 0)$ и $(2, 0)$.

На основе полученных данных (вершина в точке $(1,2)$, ветви вниз, пересечение с осью Ox в точках $x=0$ и $x=2$) можно построить эскиз графика. Теперь, используя график, ответим на вопросы.

1) наибольшее и наименьшее значения функции

Поскольку ветви параболы направлены вниз, функция имеет наибольшее значение в своей вершине. Наибольшее значение функции равно ординате вершины, то есть 2. Так как ветви параболы уходят вниз бесконечно, наименьшего значения у функции не существует.

Ответ: наибольшее значение функции равно 2; наименьшего значения не существует.

2) область значений функции

Область значений функции — это множество всех возможных значений y. Так как наибольшее значение функции равно 2, а ветви уходят в минус бесконечность, область значений — это все числа от $-\infty$ до 2 включительно.

Ответ: $E(f) = (-\infty; 2]$.

3) промежуток возрастания и промежуток убывания функции

Функция возрастает на промежутке до абсциссы вершины и убывает после. Абсцисса вершины $x_0 = 1$.
Функция возрастает при $x \in (-\infty, 1]$.
Функция убывает при $x \in [1, +\infty)$.

Ответ: промежуток возрастания $(-\infty, 1]$, промежуток убывания $[1, +\infty)$.

4) множество решений неравенства $f(x) \le 0$; $f(x) > 0$

Неравенство $f(x) \le 0$ выполняется для тех $x$, при которых график функции находится на оси Ox или ниже нее. Глядя на график, видим, что это происходит при $x \le 0$ и при $x \ge 2$.
Неравенство $f(x) > 0$ выполняется для тех $x$, при которых график функции находится строго выше оси Ox. Это происходит между точками пересечения с осью, то есть при $0 < x < 2$.

Ответ: $f(x) \le 0$ при $x \in (-\infty, 0] \cup [2, +\infty)$; $f(x) > 0$ при $x \in (0, 2)$.