Страница 95 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

129. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} x = 5 - y, \\ y^2 + 4xy = 33; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x + y = 8, \\ xy = -20; \end{cases}$

3) $\begin{cases} y - 7x = 3, \\ y^2 - 6xy - x^2 = -9; \end{cases}$

4) $\begin{cases} y^2 - xy + x = 2, \\ 5y + x = 12; \end{cases}$

5) $\begin{cases} 4x - 3y = 4, \\ 5y^2 - 16x = 16; \end{cases}$

6) $\begin{cases} 4y + x = 2, \\ (x - 4)(y + 3) = 4. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x = 5 - y \\ y^2 + 4xy = 33 \end{cases}$

Для решения системы используем метод подстановки. Подставим выражение для $x$ из первого уравнения во второе:

$y^2 + 4(5 - y)y = 33$

Раскроем скобки и упростим уравнение:

$y^2 + 20y - 4y^2 = 33$

$-3y^2 + 20y - 33 = 0$

Умножим обе части уравнения на -1, чтобы коэффициент при $y^2$ был положительным:

$3y^2 - 20y + 33 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 33 = 400 - 396 = 4$

Найдем корни уравнения для $y$:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{20 + 2}{6} = \frac{22}{6} = \frac{11}{3}$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{20 - 2}{6} = \frac{18}{6} = 3$

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого найденного $y$, используя уравнение $x = 5 - y$.

Для $y_1 = \frac{11}{3}$:

$x_1 = 5 - \frac{11}{3} = \frac{15 - 11}{3} = \frac{4}{3}$

Для $y_2 = 3$:

$x_2 = 5 - 3 = 2$

Таким образом, решениями системы являются две пары чисел.

Ответ: $(2; 3)$, $(\frac{4}{3}; \frac{11}{3})$.

2)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x + y = 8 \\ xy = -20 \end{cases}$

Данная система является симметричной. Согласно теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$.

Подставим значения из системы в это уравнение:

$t^2 - 8t - 20 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 64 + 80 = 144$

Найдем корни уравнения:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 12}{2} = 10$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{8 - 12}{2} = -2$

Корни уравнения $10$ и $-2$ являются значениями для $x$ и $y$. Следовательно, решениями системы являются пары чисел $(10; -2)$ и $(-2; 10)$.

Ответ: $(10; -2)$, $(-2; 10)$.

3)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} y - 7x = 3 \\ y^2 - 6xy - x^2 = -9 \end{cases}$

Выразим $y$ из первого уравнения:

$y = 7x + 3$

Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение системы:

$(7x+3)^2 - 6x(7x+3) - x^2 = -9$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$(49x^2 + 42x + 9) - (42x^2 + 18x) - x^2 = -9$

$49x^2 + 42x + 9 - 42x^2 - 18x - x^2 = -9$

$6x^2 + 24x + 9 = -9$

$6x^2 + 24x + 18 = 0$

Разделим все члены уравнения на 6:

$x^2 + 4x + 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $x_1 = -1$ и $x_2 = -3$.

Найдем соответствующие значения $y$ по формуле $y = 7x + 3$.

Для $x_1 = -1$:

$y_1 = 7(-1) + 3 = -7 + 3 = -4$

Для $x_2 = -3$:

$y_2 = 7(-3) + 3 = -21 + 3 = -18$

Таким образом, решениями системы являются две пары чисел.

Ответ: $(-1; -4)$, $(-3; -18)$.

4)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} y^2 - xy + x = 2 \\ 5y + x = 12 \end{cases}$

Выразим $x$ из второго уравнения:

$x = 12 - 5y$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$y^2 - y(12 - 5y) + (12 - 5y) = 2$

Раскроем скобки и упростим:

$y^2 - 12y + 5y^2 + 12 - 5y = 2$

$6y^2 - 17y + 12 - 2 = 0$

$6y^2 - 17y + 10 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 10 = 289 - 240 = 49$

Найдем корни уравнения для $y$:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 + \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{17 + 7}{12} = \frac{24}{12} = 2$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 - \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{17 - 7}{12} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$

Теперь найдем соответствующие значения $x$ по формуле $x = 12 - 5y$.

Для $y_1 = 2$:

$x_1 = 12 - 5(2) = 12 - 10 = 2$

Для $y_2 = \frac{5}{6}$:

$x_2 = 12 - 5(\frac{5}{6}) = 12 - \frac{25}{6} = \frac{72 - 25}{6} = \frac{47}{6}$

Таким образом, решениями системы являются две пары чисел.

Ответ: $(2; 2)$, $(\frac{47}{6}; \frac{5}{6})$.

5)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 4x - 3y = 4 \\ 5y^2 - 16x = 16 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $4x$:

$4x = 3y + 4$

Второе уравнение содержит $16x$, что равно $4 \cdot (4x)$. Подставим в него выражение для $4x$:

$16x = 4(3y + 4) = 12y + 16$

Теперь подставим это во второе уравнение системы:

$5y^2 - (12y + 16) = 16$

$5y^2 - 12y - 16 = 16$

$5y^2 - 12y - 32 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-32) = 144 + 640 = 784$

Так как $\sqrt{784} = 28$, найдем корни уравнения для $y$:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 + 28}{2 \cdot 5} = \frac{40}{10} = 4$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 - 28}{2 \cdot 5} = \frac{-16}{10} = -\frac{8}{5}$

Найдем соответствующие значения $x$, используя $x = \frac{3y+4}{4}$.

Для $y_1 = 4$:

$x_1 = \frac{3(4)+4}{4} = \frac{12+4}{4} = \frac{16}{4} = 4$

Для $y_2 = -\frac{8}{5}$:

$x_2 = \frac{3(-\frac{8}{5})+4}{4} = \frac{-\frac{24}{5} + \frac{20}{5}}{4} = \frac{-\frac{4}{5}}{4} = -\frac{1}{5}$

Таким образом, решениями системы являются две пары чисел.

Ответ: $(4; 4)$, $(-\frac{1}{5}; -\frac{8}{5})$.

6)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 4y + x = 2 \\ (x-4)(y+3) = 4 \end{cases}$

Выразим $x$ из первого уравнения:

$x = 2 - 4y$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$((2 - 4y) - 4)(y+3) = 4$

$(-4y - 2)(y+3) = 4$

Раскроем скобки в левой части:

$-4y(y+3) - 2(y+3) = 4$

$-4y^2 - 12y - 2y - 6 = 4$

$-4y^2 - 14y - 10 = 0$

Разделим все члены уравнения на -2 для упрощения:

$2y^2 + 7y + 5 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 49 - 40 = 9$

Найдем корни уравнения для $y$:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 + 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 - 3}{4} = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2}$

Теперь найдем соответствующие значения $x$ по формуле $x = 2 - 4y$.

Для $y_1 = -1$:

$x_1 = 2 - 4(-1) = 2 + 4 = 6$

Для $y_2 = -\frac{5}{2}$:

$x_2 = 2 - 4(-\frac{5}{2}) = 2 + 10 = 12$

Таким образом, решениями системы являются две пары чисел.

Ответ: $(6; -1)$, $(12; -\frac{5}{2})$.

130. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения:

1) прямой $y = 3x - 1$ и параболы $y = x^2 - 2x + 3$;

2) прямой $2x + y + 9 = 0$ и окружности $(x + 2)^2 + y^2 = 10$;

3) прямой $y = -x + 1$ и окружности $x^2 + (y + 3)^2 = 8$;

4) парабол $y = 2x^2 - 8x + 11$ и $y = 1 + 4x - 2x^2$.

1) Чтобы найти координаты точек пересечения прямой $y = 3x - 1$ и параболы $y = x^2 - 2x + 3$, необходимо решить систему уравнений:
$\begin{cases} y = 3x - 1 \\ y = x^2 - 2x + 3 \end{cases}$
Приравняем правые части уравнений, так как левые части равны ($y$):
$3x - 1 = x^2 - 2x + 3$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 - 2x - 3x + 3 + 1 = 0$
$x^2 - 5x + 4 = 0$
Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно 4, а сумма равна 5. Корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.
Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив найденные значения $x$ в уравнение прямой $y = 3x - 1$:
При $x_1 = 1$: $y_1 = 3(1) - 1 = 2$.
При $x_2 = 4$: $y_2 = 3(4) - 1 = 11$.
Таким образом, мы получили две точки пересечения.
Ответ: $(1, 2), (4, 11)$.

2) Чтобы найти координаты точек пересечения прямой $2x + y + 9 = 0$ и окружности $(x + 2)^2 + y^2 = 10$, решим систему уравнений:
$\begin{cases} 2x + y + 9 = 0 \\ (x + 2)^2 + y^2 = 10 \end{cases}$
Из первого уравнения выразим $y$: $y = -2x - 9$.
Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение:
$(x + 2)^2 + (-2x - 9)^2 = 10$
Раскроем скобки:
$(x^2 + 4x + 4) + (4x^2 + 36x + 81) = 10$
Приведем подобные слагаемые:
$5x^2 + 40x + 85 = 10$
$5x^2 + 40x + 75 = 0$
Разделим все уравнение на 5 для упрощения:
$x^2 + 8x + 15 = 0$
Корнями этого квадратного уравнения являются $x_1 = -3$ и $x_2 = -5$.
Теперь найдем соответствующие значения $y$ по формуле $y = -2x - 9$:
При $x_1 = -3$: $y_1 = -2(-3) - 9 = 6 - 9 = -3$.
При $x_2 = -5$: $y_2 = -2(-5) - 9 = 10 - 9 = 1$.
Мы получили две точки пересечения.
Ответ: $(-3, -3), (-5, 1)$.

3) Чтобы найти координаты точек пересечения прямой $y = -x + 1$ и окружности $x^2 + (y + 3)^2 = 8$, решим систему уравнений:
$\begin{cases} y = -x + 1 \\ x^2 + (y + 3)^2 = 8 \end{cases}$
Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:
$x^2 + ((-x + 1) + 3)^2 = 8$
$x^2 + (-x + 4)^2 = 8$
Раскроем скобки:
$x^2 + (x^2 - 8x + 16) = 8$
$2x^2 - 8x + 16 - 8 = 0$
$2x^2 - 8x + 8 = 0$
Разделим уравнение на 2:
$x^2 - 4x + 4 = 0$
Это уравнение является полным квадратом: $(x - 2)^2 = 0$.
Уравнение имеет один корень: $x = 2$.
Найдем соответствующее значение $y$ из уравнения $y = -x + 1$:
$y = -2 + 1 = -1$.
Так как мы получили только одно решение, прямая является касательной к окружности в этой точке.
Ответ: $(2, -1)$.

4) Чтобы найти координаты точек пересечения парабол $y = 2x^2 - 8x + 11$ и $y = 1 + 4x - 2x^2$, приравняем их правые части:
$2x^2 - 8x + 11 = 1 + 4x - 2x^2$
Перенесем все члены в левую сторону:
$2x^2 + 2x^2 - 8x - 4x + 11 - 1 = 0$
$4x^2 - 12x + 10 = 0$
Разделим уравнение на 2:
$2x^2 - 6x + 5 = 0$
Чтобы найти корни этого квадратного уравнения, вычислим его дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-6)^2 - 4(2)(5) = 36 - 40 = -4$
Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что графики функций не пересекаются.
Ответ: точек пересечения нет.

131. Решите систему уравнений:

1) $ \begin{cases} x^2 + y^2 + 2xy = 100, \\ y - x = 6; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} x^2 + 4xy + 4y^2 = 1, \\ 2x^2 - 3xy + y^2 = 6; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} xy + x^2 = 30, \\ xy + y^2 = -5; \end{cases} $

4) $ \begin{cases} 2y^2 - 3x^2 = 1, \\ 3x^2 + 2y^2 = 19; \end{cases} $

5) $ \begin{cases} 2xy - x = 9, \\ 2xy + 5y = 22; \end{cases} $

6) $ \begin{cases} x^2 + 16y^2 = 73, \\ xy = -6. \end{cases} $

1) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x^2 + y^2 + 2xy = 100, \\ y - x = 6; \end{cases} $
Заметим, что левая часть первого уравнения является полным квадратом суммы: $x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$.
Тогда система примет вид:
$ \begin{cases} (x+y)^2 = 100, \\ y - x = 6; \end{cases} $
Из первого уравнения получаем два возможных случая: $x+y = 10$ или $x+y = -10$.

Случай 1:
$ \begin{cases} x+y = 10, \\ y - x = 6; \end{cases} $
Сложим два уравнения: $(x+y) + (y-x) = 10 + 6$, что дает $2y = 16$, откуда $y = 8$.
Подставим $y=8$ во второе уравнение: $8 - x = 6$, откуда $x = 2$.
Первое решение: $(2, 8)$.

Случай 2:
$ \begin{cases} x+y = -10, \\ y - x = 6; \end{cases} $
Сложим два уравнения: $(x+y) + (y-x) = -10 + 6$, что дает $2y = -4$, откуда $y = -2$.
Подставим $y=-2$ во второе уравнение: $-2 - x = 6$, откуда $-x = 8$, то есть $x = -8$.
Второе решение: $(-8, -2)$.
Ответ: $(2, 8), (-8, -2)$.

2) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x^2 + 4xy + 4y^2 = 1, \\ 2x^2 - 3xy + y^2 = 6; \end{cases} $
Левая часть первого уравнения является полным квадратом: $x^2 + 4xy + (2y)^2 = (x+2y)^2$.
Система принимает вид:
$ \begin{cases} (x+2y)^2 = 1, \\ 2x^2 - 3xy + y^2 = 6; \end{cases} $
Из первого уравнения получаем: $x+2y = 1$ или $x+2y = -1$.

Случай 1: $x+2y = 1 \implies x = 1 - 2y$.
Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение:
$2(1-2y)^2 - 3(1-2y)y + y^2 = 6$
$2(1-4y+4y^2) - 3y + 6y^2 + y^2 = 6$
$2-8y+8y^2 - 3y + 6y^2 + y^2 = 6$
$15y^2 - 11y - 4 = 0$
Решаем квадратное уравнение: $D = (-11)^2 - 4(15)(-4) = 121 + 240 = 361 = 19^2$.
$y_{1,2} = \frac{11 \pm 19}{30}$.
$y_1 = \frac{30}{30} = 1$, тогда $x_1 = 1 - 2(1) = -1$.
$y_2 = \frac{-8}{30} = -\frac{4}{15}$, тогда $x_2 = 1 - 2(-\frac{4}{15}) = 1 + \frac{8}{15} = \frac{23}{15}$.
Получили два решения: $(-1, 1)$ и $(\frac{23}{15}, -\frac{4}{15})$.

Случай 2: $x+2y = -1 \implies x = -1 - 2y$.
Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение:
$2(-1-2y)^2 - 3(-1-2y)y + y^2 = 6$
$2(1+4y+4y^2) + 3y + 6y^2 + y^2 = 6$
$2+8y+8y^2 + 3y + 6y^2 + y^2 = 6$
$15y^2 + 11y - 4 = 0$
Решаем квадратное уравнение: $D = 11^2 - 4(15)(-4) = 121 + 240 = 361 = 19^2$.
$y_{3,4} = \frac{-11 \pm 19}{30}$.
$y_3 = \frac{8}{30} = \frac{4}{15}$, тогда $x_3 = -1 - 2(\frac{4}{15}) = -1 - \frac{8}{15} = -\frac{23}{15}$.
$y_4 = \frac{-30}{30} = -1$, тогда $x_4 = -1 - 2(-1) = 1$.
Получили еще два решения: $(-\frac{23}{15}, \frac{4}{15})$ и $(1, -1)$.
Ответ: $(-1, 1), (1, -1), (\frac{23}{15}, -\frac{4}{15}), (-\frac{23}{15}, \frac{4}{15})$.

3) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} xy + x^2 = 30, \\ xy + y^2 = -5; \end{cases} $
Вычтем второе уравнение из первого:
$(xy + x^2) - (xy + y^2) = 30 - (-5)$
$x^2 - y^2 = 35$
Другой способ: разложим на множители левые части уравнений:
$ \begin{cases} x(y + x) = 30, \\ y(x + y) = -5; \end{cases} $
Поскольку правые части не равны нулю, $x+y \neq 0$. Разделим первое уравнение на второе:
$\frac{x(x+y)}{y(x+y)} = \frac{30}{-5}$
$\frac{x}{y} = -6 \implies x = -6y$.
Подставим $x = -6y$ в любое из исходных уравнений, например во второе:
$(-6y)y + y^2 = -5$
$-6y^2 + y^2 = -5$
$-5y^2 = -5$
$y^2 = 1 \implies y_1 = 1, y_2 = -1$.
Если $y_1 = 1$, то $x_1 = -6(1) = -6$.
Если $y_2 = -1$, то $x_2 = -6(-1) = 6$.
Получили два решения: $(-6, 1)$ и $(6, -1)$.
Ответ: $(-6, 1), (6, -1)$.

4) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 2y^2 - 3x^2 = 1, \\ 3x^2 + 2y^2 = 19; \end{cases} $
Это система линейных уравнений относительно $x^2$ и $y^2$. Сложим два уравнения:
$(2y^2 - 3x^2) + (3x^2 + 2y^2) = 1 + 19$
$4y^2 = 20$
$y^2 = 5 \implies y = \pm\sqrt{5}$.
Подставим $y^2 = 5$ во второе уравнение:
$3x^2 + 2(5) = 19$
$3x^2 + 10 = 19$
$3x^2 = 9$
$x^2 = 3 \implies x = \pm\sqrt{3}$.
Комбинируя значения для $x$ и $y$, получаем четыре решения.
Ответ: $(\sqrt{3}, \sqrt{5}), (\sqrt{3}, -\sqrt{5}), (-\sqrt{3}, \sqrt{5}), (-\sqrt{3}, -\sqrt{5})$.

5) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 2xy - x = 9, \\ 2xy + 5y = 22; \end{cases} $
Вычтем первое уравнение из второго:
$(2xy + 5y) - (2xy - x) = 22 - 9$
$5y + x = 13 \implies x = 13 - 5y$.
Подставим это выражение для $x$ в первое уравнение:
$2(13-5y)y - (13-5y) = 9$
$26y - 10y^2 - 13 + 5y = 9$
$-10y^2 + 31y - 13 - 9 = 0$
$-10y^2 + 31y - 22 = 0$
$10y^2 - 31y + 22 = 0$
Решаем квадратное уравнение: $D = (-31)^2 - 4(10)(22) = 961 - 880 = 81 = 9^2$.
$y_{1,2} = \frac{31 \pm 9}{20}$.
$y_1 = \frac{40}{20} = 2$, тогда $x_1 = 13 - 5(2) = 13 - 10 = 3$.
$y_2 = \frac{22}{20} = \frac{11}{10}$, тогда $x_2 = 13 - 5(\frac{11}{10}) = 13 - \frac{11}{2} = \frac{26-11}{2} = \frac{15}{2}$.
Получили два решения.
Ответ: $(3, 2), (\frac{15}{2}, \frac{11}{10})$.

6) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x^2 + 16y^2 = 73, \\ xy = -6; \end{cases} $
Из второго уравнения выразим $y$ (при $x \neq 0$): $y = -\frac{6}{x}$.
Подставим это выражение в первое уравнение:
$x^2 + 16(-\frac{6}{x})^2 = 73$
$x^2 + 16(\frac{36}{x^2}) = 73$
$x^2 + \frac{576}{x^2} = 73$
Умножим обе части на $x^2$:
$x^4 + 576 = 73x^2$
$x^4 - 73x^2 + 576 = 0$
Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $a = x^2$, где $a > 0$:
$a^2 - 73a + 576 = 0$
Решаем квадратное уравнение: $D = (-73)^2 - 4(1)(576) = 5329 - 2304 = 3025 = 55^2$.
$a_{1,2} = \frac{73 \pm 55}{2}$.
$a_1 = \frac{128}{2} = 64$.
$a_2 = \frac{18}{2} = 9$.
Возвращаемся к замене:
1) $x^2 = 64 \implies x_1 = 8, x_2 = -8$.
Если $x_1 = 8$, то $y_1 = -\frac{6}{8} = -\frac{3}{4}$.
Если $x_2 = -8$, то $y_2 = -\frac{6}{-8} = \frac{3}{4}$.
2) $x^2 = 9 \implies x_3 = 3, x_4 = -3$.
Если $x_3 = 3$, то $y_3 = -\frac{6}{3} = -2$.
Если $x_4 = -3$, то $y_4 = -\frac{6}{-3} = 2$.
Получили четыре решения.
Ответ: $(8, -3/4), (-8, 3/4), (3, -2), (-3, 2)$.

132. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} 4x^2 - y^2 = 32, \\ xy = 6; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x + y + xy = -19, \\ xy(x + y) = -20; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^3 - y^3 = 98, \\ x - y = 2; \end{cases}$

4) $\begin{cases} \frac{y}{x} - \frac{x}{y} = \frac{16}{15}, \\ 4y - 5x = 15; \end{cases}$

5) $\begin{cases} \frac{3}{2x + 5y} - \frac{2}{3x - 10y} = 4, \\ \frac{2}{2x + 5y} + \frac{3}{3x - 10y} = 7; \end{cases}$

6) $\begin{cases} \frac{x + 3y}{2x - y} + \frac{6(2x - y)}{x + 3y} = 5, \\ x^2 - xy - y^2 = 1. \end{cases}$

1) Дана система уравнений:$ \begin{cases} 4x^2 - y^2 = 32 \\ xy = 6 \end{cases} $
Из второго уравнения выразим $y$ через $x$: $y = \frac{6}{x}$ (при условии, что $x \neq 0$).
Подставим это выражение в первое уравнение:$4x^2 - (\frac{6}{x})^2 = 32$
$4x^2 - \frac{36}{x^2} = 32$
Умножим обе части уравнения на $x^2$, чтобы избавиться от знаменателя:$4x^4 - 36 = 32x^2$
$4x^4 - 32x^2 - 36 = 0$
Разделим уравнение на 4:$x^4 - 8x^2 - 9 = 0$
Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной $t = x^2$, где $t \geq 0$:$t^2 - 8t - 9 = 0$
Решим квадратное уравнение относительно $t$. Корни: $t_1 = 9$ и $t_2 = -1$.
Так как $t = x^2$ должно быть неотрицательным, корень $t_2 = -1$ не подходит.
Возвращаемся к переменной $x$:$x^2 = 9$, откуда $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.
Теперь найдем соответствующие значения $y$:
Если $x_1 = 3$, то $y_1 = \frac{6}{3} = 2$.
Если $x_2 = -3$, то $y_2 = \frac{6}{-3} = -2$.
Получили две пары решений: $(3, 2)$ и $(-3, -2)$.
Ответ: $(3, 2), (-3, -2)$.

2) Дана система уравнений:$ \begin{cases} x + y + xy = -19 \\ xy(x + y) = -20 \end{cases} $
Введем новые переменные: $u = x + y$ и $v = xy$. Система примет вид:$ \begin{cases} u + v = -19 \\ uv = -20 \end{cases} $
Согласно теореме, обратной теореме Виета, $u$ и $v$ являются корнями квадратного уравнения $z^2 - (-19)z + (-20) = 0$, то есть $z^2 + 19z - 20 = 0$.
Корни этого уравнения: $z_1 = 1$ и $z_2 = -20$.
Рассмотрим два случая:
Случай 1: $u = 1$, $v = -20$.
Возвращаемся к исходным переменным:$ \begin{cases} x + y = 1 \\ xy = -20 \end{cases} $
$x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - t - 20 = 0$.
Решая его, получаем $t_1 = 5$, $t_2 = -4$.
Это дает нам две пары решений: $(5, -4)$ и $(-4, 5)$.
Случай 2: $u = -20$, $v = 1$.
Возвращаемся к исходным переменным:$ \begin{cases} x + y = -20 \\ xy = 1 \end{cases} $
$x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (-20)t + 1 = 0$, то есть $t^2 + 20t + 1 = 0$.
Решим его через дискриминант: $D = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 400 - 4 = 396 = 36 \cdot 11$.
$t = \frac{-20 \pm \sqrt{396}}{2} = \frac{-20 \pm 6\sqrt{11}}{2} = -10 \pm 3\sqrt{11}$.
Это дает нам еще две пары решений: $(-10 + 3\sqrt{11}, -10 - 3\sqrt{11})$ и $(-10 - 3\sqrt{11}, -10 + 3\sqrt{11})$.
Ответ: $(5, -4), (-4, 5), (-10 + 3\sqrt{11}, -10 - 3\sqrt{11}), (-10 - 3\sqrt{11}, -10 + 3\sqrt{11})$.

3) Дана система уравнений:$ \begin{cases} x^3 - y^3 = 98 \\ x - y = 2 \end{cases} $
Используем формулу разности кубов: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.
Подставим известные значения из системы:$98 = 2(x^2 + xy + y^2)$
$x^2 + xy + y^2 = 49$
Из второго уравнения системы выразим $x$: $x = y + 2$.
Подставим это выражение в полученное уравнение:$(y + 2)^2 + (y + 2)y + y^2 = 49$
$(y^2 + 4y + 4) + (y^2 + 2y) + y^2 = 49$
$3y^2 + 6y + 4 = 49$
$3y^2 + 6y - 45 = 0$
Разделим уравнение на 3:$y^2 + 2y - 15 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни: $y_1 = 3$ и $y_2 = -5$.
Найдем соответствующие значения $x$:
Если $y_1 = 3$, то $x_1 = 3 + 2 = 5$.
Если $y_2 = -5$, то $x_2 = -5 + 2 = -3$.
Получили две пары решений: $(5, 3)$ и $(-3, -5)$.
Ответ: $(5, 3), (-3, -5)$.

4) Дана система уравнений:$ \begin{cases} \frac{y}{x} - \frac{x}{y} = \frac{16}{15} \\ 4y - 5x = 15 \end{cases} $
Преобразуем первое уравнение, приведя дроби к общему знаменателю:$\frac{y^2 - x^2}{xy} = \frac{16}{15}$
$15(y^2 - x^2) = 16xy$
$15y^2 - 16xy - 15x^2 = 0$
Это однородное уравнение. Разделим его на $x^2$ (предполагая $x \neq 0$):$15(\frac{y}{x})^2 - 16(\frac{y}{x}) - 15 = 0$
Сделаем замену $t = \frac{y}{x}$:$15t^2 - 16t - 15 = 0$
Решим квадратное уравнение: $D = (-16)^2 - 4 \cdot 15 \cdot (-15) = 256 + 900 = 1156 = 34^2$.
$t = \frac{16 \pm 34}{30}$, откуда $t_1 = \frac{16 + 34}{30} = \frac{5}{3}$ и $t_2 = \frac{16 - 34}{30} = -\frac{3}{5}$.
Рассмотрим два случая:
Случай 1: $\frac{y}{x} = \frac{5}{3}$, откуда $y = \frac{5}{3}x$. Подставим во второе уравнение: $4(\frac{5}{3}x) - 5x = 15 \Rightarrow \frac{20}{3}x - 5x = 15 \Rightarrow \frac{5x}{3} = 15 \Rightarrow x = 9$. Тогда $y = \frac{5}{3} \cdot 9 = 15$. Первое решение: $(9, 15)$.
Случай 2: $\frac{y}{x} = -\frac{3}{5}$, откуда $y = -\frac{3}{5}x$. Подставим во второе уравнение: $4(-\frac{3}{5}x) - 5x = 15 \Rightarrow -\frac{12}{5}x - 5x = 15 \Rightarrow -\frac{37x}{5} = 15 \Rightarrow x = -\frac{75}{37}$. Тогда $y = -\frac{3}{5} \cdot (-\frac{75}{37}) = \frac{45}{37}$. Второе решение: $(-\frac{75}{37}, \frac{45}{37})$.
Ответ: $(9, 15), (-\frac{75}{37}, \frac{45}{37})$.

5) Дана система уравнений:$ \begin{cases} \frac{3}{2x + 5y} - \frac{2}{3x - 10y} = 4 \\ \frac{2}{2x + 5y} + \frac{3}{3x - 10y} = 7 \end{cases} $
Введем новые переменные: $u = \frac{1}{2x + 5y}$ и $v = \frac{1}{3x - 10y}$.
Система примет вид: $ \begin{cases} 3u - 2v = 4 \\ 2u + 3v = 7 \end{cases} $
Решим эту систему. Умножим первое уравнение на 3, а второе на 2, и сложим их:$(9u - 6v) + (4u + 6v) = 12 + 14 \Rightarrow 13u = 26 \Rightarrow u = 2$.
Подставив $u=2$ в любое из уравнений, найдем $v$: $2(2) + 3v = 7 \Rightarrow 4 + 3v = 7 \Rightarrow 3v = 3 \Rightarrow v = 1$.
Вернемся к исходным переменным:$u = \frac{1}{2x + 5y} = 2 \Rightarrow 2x + 5y = \frac{1}{2}$
$v = \frac{1}{3x - 10y} = 1 \Rightarrow 3x - 10y = 1$
Получили систему линейных уравнений. Умножим первое уравнение на 2 и сложим со вторым:$(4x + 10y) + (3x - 10y) = 1 + 1 \Rightarrow 7x = 2 \Rightarrow x = \frac{2}{7}$.
Подставим $x = \frac{2}{7}$ в $2x + 5y = \frac{1}{2}$:$2(\frac{2}{7}) + 5y = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{4}{7} + 5y = \frac{1}{2} \Rightarrow 5y = \frac{1}{2} - \frac{4}{7} = \frac{7-8}{14} = -\frac{1}{14}$.
$y = -\frac{1}{70}$.
Ответ: $(\frac{2}{7}, -\frac{1}{70})$.

6) Дана система уравнений:$ \begin{cases} \frac{x + 3y}{2x - y} + \frac{6(2x - y)}{x + 3y} = 5 \\ x^2 - xy - y^2 = 1 \end{cases} $
В первом уравнении введем замену $t = \frac{x + 3y}{2x - y}$. Уравнение примет вид:$t + \frac{6}{t} = 5$
$t^2 - 5t + 6 = 0$
Корни этого уравнения: $t_1 = 2$, $t_2 = 3$.
Случай 1: $\frac{x + 3y}{2x - y} = 2 \Rightarrow x + 3y = 4x - 2y \Rightarrow 5y = 3x \Rightarrow x = \frac{5}{3}y$.
Подставим во второе уравнение системы:$(\frac{5}{3}y)^2 - (\frac{5}{3}y)y - y^2 = 1 \Rightarrow \frac{25}{9}y^2 - \frac{5}{3}y^2 - y^2 = 1$.
$\frac{25y^2 - 15y^2 - 9y^2}{9} = 1 \Rightarrow \frac{y^2}{9} = 1 \Rightarrow y^2 = 9$.
Отсюда $y_1 = 3$ (тогда $x_1 = 5$) и $y_2 = -3$ (тогда $x_2 = -5$).
Получили две пары решений: $(5, 3)$ и $(-5, -3)$.
Случай 2: $\frac{x + 3y}{2x - y} = 3 \Rightarrow x + 3y = 6x - 3y \Rightarrow 6y = 5x \Rightarrow x = \frac{6}{5}y$.
Подставим во второе уравнение системы:$(\frac{6}{5}y)^2 - (\frac{6}{5}y)y - y^2 = 1 \Rightarrow \frac{36}{25}y^2 - \frac{6}{5}y^2 - y^2 = 1$.
$\frac{36y^2 - 30y^2 - 25y^2}{25} = 1 \Rightarrow -19y^2 = 25 \Rightarrow y^2 = -\frac{25}{19}$.
Это уравнение не имеет действительных решений.
Ответ: $(5, 3), (-5, -3)$.