Страница 98 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

144. По окружности двигаются в одном направлении две точки. Одна из них выполняет полный оборот на 3 с дольше другой, а время между их последовательными встречами равно 6 с. За какое время каждая точка выполняет полный оборот?

Пусть $T_1$ и $T_2$ — время (в секундах), за которое первая и вторая точки соответственно выполняют полный оборот. Тогда их скорости (в оборотах в секунду) равны $\omega_1 = \frac{1}{T_1}$ и $\omega_2 = \frac{1}{T_2}$.

По условию, одна точка совершает оборот на 3 секунды дольше другой. Предположим, что первая точка быстрее, то есть ее время оборота меньше. Тогда $T_1 < T_2$, и мы можем записать первое уравнение:
$T_2 = T_1 + 3$

Точки движутся в одном направлении. Встреча происходит каждый раз, когда более быстрая точка обгоняет более медленную ровно на один круг. Время между встречами ($T_{встр}$) можно найти через относительную скорость. Относительная скорость сближения (или, в данном случае, обгона) равна разности их скоростей:
$\omega_{отн} = \omega_1 - \omega_2 = \frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2}$

Время, за которое будет пройден один "относительный" оборот, и есть время между встречами. По условию, это время равно 6 секунд. Таким образом, получаем второе уравнение:
$T_{встр} = \frac{1}{\omega_{отн}} = \frac{1}{\frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2}} = 6$

Из этого уравнения следует:
$\frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2} = \frac{1}{6}$

Теперь мы имеем систему из двух уравнений:
1) $T_2 = T_1 + 3$
2) $\frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2} = \frac{1}{6}$

Подставим выражение для $T_2$ из первого уравнения во второе:
$\frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_1 + 3} = \frac{1}{6}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $T_1(T_1 + 3)$:
$\frac{(T_1 + 3) - T_1}{T_1(T_1 + 3)} = \frac{1}{6}$
$\frac{3}{T_1(T_1 + 3)} = \frac{1}{6}$

По свойству пропорции (перекрестное умножение), получаем:
$3 \cdot 6 = 1 \cdot T_1(T_1 + 3)$
$18 = T_1^2 + 3T_1$

Перенесем все в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$T_1^2 + 3T_1 - 18 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно -18, а их сумма равна -3. Корни, удовлетворяющие этим условиям, — это -6 и 3. Также можно использовать формулу для корней квадратного уравнения:
$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81$
$T_1 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm 9}{2}$
$T_{1,1} = \frac{-3 - 9}{2} = -6$
$T_{1,2} = \frac{-3 + 9}{2} = 3$

Поскольку время ($T_1$) не может быть отрицательной величиной, корень $T_1 = -6$ не имеет физического смысла. Следовательно, время оборота для первой (быстрой) точки равно 3 секундам.

Теперь найдем время для второй точки, используя первое уравнение:
$T_2 = T_1 + 3 = 3 + 3 = 6$

Итак, время, за которое каждая точка выполняет полный оборот, составляет 3 с и 6 с.

Ответ: 3 с и 6 с.

145. Дорога длиной 30 км, соединяющая село и железнодорожную станцию, идёт сначала с горы, а затем вверх. Из села на станцию велосипедист едет 2 ч 12 мин, а со станции — 2 ч 18 мин. С какой скоростью велосипедист едет с горы и с какой в гору, если его скорость на подъёме на 3 км/ч меньше его скорости на спуске?

Введем переменные:
Пусть $x$ км — длина участка дороги, который идёт с горы по пути из села на станцию.
Тогда $(30 - x)$ км — длина участка дороги, который идёт в гору по тому же пути.
Пусть $v$ км/ч — скорость велосипедиста на спуске (с горы).
Согласно условию, скорость на подъёме на 3 км/ч меньше, значит $(v - 3)$ км/ч — скорость велосипедиста на подъёме (в гору).

Переведем время в пути в часы:
Время из села на станцию: $T_1 = 2 \text{ ч } 12 \text{ мин } = 2 + \frac{12}{60} \text{ ч } = 2 + \frac{1}{5} \text{ ч } = 2,2 \text{ ч }$.
Время со станции в село: $T_2 = 2 \text{ ч } 18 \text{ мин } = 2 + \frac{18}{60} \text{ ч } = 2 + \frac{3}{10} \text{ ч } = 2,3 \text{ ч }$.

Составим систему уравнений, используя формулу времени $t = \frac{S}{v}$:
1. Путь из села на станцию (сначала спуск, потом подъем):
$\frac{x}{v} + \frac{30-x}{v-3} = 2,2$
2. Путь со станции в село (сначала спуск по бывшему подъему, потом подъем по бывшему спуску):
$\frac{30-x}{v} + \frac{x}{v-3} = 2,3$

Сложим оба уравнения системы, чтобы исключить переменную $x$:
$(\frac{x}{v} + \frac{30-x}{v-3}) + (\frac{30-x}{v} + \frac{x}{v-3}) = 2,2 + 2,3$
$\frac{x + 30 - x}{v} + \frac{30 - x + x}{v-3} = 4,5$
$\frac{30}{v} + \frac{30}{v-3} = 4,5$

Решим полученное уравнение относительно $v$:
Приведем к общему знаменателю $v(v-3)$:
$30(v-3) + 30v = 4,5v(v-3)$
$30v - 90 + 30v = 4,5v^2 - 13,5v$
$60v - 90 = 4,5v^2 - 13,5v$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$4,5v^2 - 73,5v + 90 = 0$
Умножим уравнение на 2, чтобы избавиться от десятичных дробей:
$9v^2 - 147v + 180 = 0$
Разделим уравнение на 3, чтобы упростить коэффициенты:
$3v^2 - 49v + 60 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-49)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 60 = 2401 - 720 = 1681 = 41^2$
$v_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{49 \pm 41}{2 \cdot 3} = \frac{49 \pm 41}{6}$
$v_1 = \frac{49 + 41}{6} = \frac{90}{6} = 15$
$v_2 = \frac{49 - 41}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

Проанализируем полученные корни:
Корень $v_2 = \frac{4}{3}$ км/ч не подходит по смыслу задачи, так как в этом случае скорость на подъёме была бы отрицательной: $v_{подъём} = \frac{4}{3} - 3 = -\frac{5}{3}$ км/ч. Скорость не может быть отрицательной.
Следовательно, единственное верное решение для скорости на спуске: $v = 15$ км/ч.

Теперь найдем скорость на подъёме:
Скорость в гору = $v - 3 = 15 - 3 = 12$ км/ч.

Ответ: скорость, с которой велосипедист едет с горы, равна 15 км/ч, а скорость, с которой он едет в гору, — 12 км/ч.

146. От двух станций, расстояние между которыми равно 450 км, отправились одновременно навстречу друг другу два поезда и встретились через 5 ч. Найдите скорость каждого поезда, если один из них потратил на путь между станциями на 2 ч 15 мин больше, чем другой.

Пусть $v_1$ и $v_2$ — скорости первого и второго поездов соответственно, измеряемые в км/ч.

1. Составление системы уравнений

Расстояние между станциями $S = 450$ км. Поезда отправились одновременно навстречу друг другу и встретились через $t_{встр} = 5$ ч.

Скорость сближения поездов равна сумме их скоростей: $v_{сбл} = v_1 + v_2$.

За время $t_{встр}$ они вместе преодолели все расстояние $S$. Таким образом, мы можем составить первое уравнение:

$S = (v_1 + v_2) \cdot t_{встр}$

$450 = (v_1 + v_2) \cdot 5$

$v_1 + v_2 = 450 / 5$

$v_1 + v_2 = 90$

Это наше первое уравнение.

Известно, что один из поездов потратил на весь путь между станциями на 2 ч 15 мин больше, чем другой. Переведем это время в часы:

$\Delta t = 2 \text{ ч } 15 \text{ мин} = 2 + \frac{15}{60} \text{ ч} = 2 + \frac{1}{4} \text{ ч} = 2.25 \text{ ч} = \frac{9}{4} \text{ ч}$

Время, которое потратил бы первый поезд на весь путь: $t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{450}{v_1}$.

Время, которое потратил бы второй поезд на весь путь: $t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{450}{v_2}$.

Предположим, что первый поезд медленнее, то есть $v_1 < v_2$. Тогда он потратит больше времени: $t_1 - t_2 = \Delta t$.

Получаем второе уравнение:

$\frac{450}{v_1} - \frac{450}{v_2} = \frac{9}{4}$

Таким образом, мы имеем систему из двух уравнений:

$\begin{cases} v_1 + v_2 = 90 \\ \frac{450}{v_1} - \frac{450}{v_2} = \frac{9}{4} \end{cases}$

2. Решение системы уравнений

Из первого уравнения выразим $v_2$:

$v_2 = 90 - v_1$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$\frac{450}{v_1} - \frac{450}{90 - v_1} = \frac{9}{4}$

Чтобы упростить уравнение, разделим обе его части на 9:

$\frac{50}{v_1} - \frac{50}{90 - v_1} = \frac{1}{4}$

Приведем левую часть к общему знаменателю $v_1(90 - v_1)$:

$\frac{50(90 - v_1) - 50v_1}{v_1(90 - v_1)} = \frac{1}{4}$

$\frac{4500 - 50v_1 - 50v_1}{90v_1 - v_1^2} = \frac{1}{4}$

$\frac{4500 - 100v_1}{90v_1 - v_1^2} = \frac{1}{4}$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):

$4(4500 - 100v_1) = 1(90v_1 - v_1^2)$

$18000 - 400v_1 = 90v_1 - v_1^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$v_1^2 - 90v_1 - 400v_1 + 18000 = 0$

$v_1^2 - 490v_1 + 18000 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-490)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18000 = 240100 - 72000 = 168100$

$\sqrt{D} = \sqrt{168100} = 410$

Найдем корни уравнения:

$v_{1,1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{490 + 410}{2} = \frac{900}{2} = 450$

$v_{1,2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{490 - 410}{2} = \frac{80}{2} = 40$

Проверим оба корня.

Если $v_1 = 450$ км/ч, то $v_2 = 90 - v_1 = 90 - 450 = -360$ км/ч. Скорость не может быть отрицательной, поэтому этот корень не подходит.

Если $v_1 = 40$ км/ч, то $v_2 = 90 - v_1 = 90 - 40 = 50$ км/ч. Это решение является физически осмысленным.

Проверим, выполняется ли условие о разнице во времени.

Время первого поезда: $t_1 = 450/40 = 11.25$ ч.

Время второго поезда: $t_2 = 450/50 = 9$ ч.

Разница во времени: $t_1 - t_2 = 11.25 - 9 = 2.25$ ч, что равно 2 ч 15 мин. Условие выполняется.

Ответ: Скорость одного поезда 40 км/ч, а скорость другого поезда 50 км/ч.

147. От станций $C$ и $D$, расстояние между которыми равно 270 км, отправились одновременно навстречу друг другу два поезда. Первый поезд прибыл на станцию $D$ через 2 ч 24 мин после встречи, а второй на станцию $C$ — через 3 ч 45 мин после встречи. Найдите, с какой скоростью двигался каждый поезд и через какое время после начала движения состоялась их встреча.

Пусть $v_1$ и $v_2$ — скорости первого и второго поездов соответственно, а $t$ — время от начала движения до их встречи. Общее расстояние между станциями C и D составляет $S = 270$ км.

До момента встречи первый поезд, вышедший из пункта C, проехал расстояние $S_1 = v_1 t$. Второй поезд, вышедший из пункта D, проехал расстояние $S_2 = v_2 t$. В сумме они преодолели все расстояние между станциями:

$S_1 + S_2 = S \implies v_1 t + v_2 t = 270$

После встречи первый поезд должен был проехать оставшееся расстояние $S_2$, а второй поезд — расстояние $S_1$.

По условию, первый поезд прибыл в D через $t_1 = 2$ ч 24 мин после встречи, а второй в C — через $t_2 = 3$ ч 45 мин после встречи. Переведем это время в часы для удобства расчетов:

$t_1 = 2 \text{ ч } 24 \text{ мин} = 2 + \frac{24}{60} \text{ ч} = 2 + \frac{2}{5} \text{ ч} = 2.4$ ч.

$t_2 = 3 \text{ ч } 45 \text{ мин} = 3 + \frac{45}{60} \text{ ч} = 3 + \frac{3}{4} \text{ ч} = 3.75$ ч.

Теперь мы можем составить систему уравнений, связывающую расстояния, скорости и время:

1. Расстояние, которое проехал первый поезд до встречи: $S_1 = v_1 t$. Это же расстояние второй поезд проехал после встречи: $S_1 = v_2 t_2$.
2. Расстояние, которое проехал второй поезд до встречи: $S_2 = v_2 t$. Это же расстояние первый поезд проехал после встречи: $S_2 = v_1 t_1$.

Получаем равенства:

$v_1 t = v_2 t_2$

$v_2 t = v_1 t_1$

Из этих уравнений выразим отношение скоростей $\frac{v_1}{v_2}$:

Из первого: $\frac{v_1}{v_2} = \frac{t_2}{t}$

Из второго: $\frac{v_1}{v_2} = \frac{t}{t_1}$

Приравнивая правые части этих выражений, получаем формулу для времени встречи $t$:

$\frac{t_2}{t} = \frac{t}{t_1} \implies t^2 = t_1 \cdot t_2$

Теперь можем найти время до встречи, подставив числовые значения $t_1$ и $t_2$:

$t^2 = 2.4 \cdot 3.75 = \frac{24}{10} \cdot \frac{375}{100} = \frac{12}{5} \cdot \frac{15}{4} = \frac{12 \cdot 15}{5 \cdot 4} = 3 \cdot 3 = 9$

Отсюда $t = \sqrt{9} = 3$ ч.

Ответ: Встреча состоялась через 3 часа после начала движения.

Зная время до встречи, мы можем определить скорости каждого поезда. Для этого сначала найдем общее время, которое каждый поезд был в пути.

Полное время в пути для первого поезда (из C в D):

$T_1 = t + t_1 = 3 + 2.4 = 5.4$ ч.

Полное время в пути для второго поезда (из D в C):

$T_2 = t + t_2 = 3 + 3.75 = 6.75$ ч.

Теперь, зная общее расстояние $S = 270$ км и полное время в пути для каждого поезда, находим их скорости:

Скорость первого поезда:

$v_1 = \frac{S}{T_1} = \frac{270 \text{ км}}{5.4 \text{ ч}} = \frac{2700}{54} = 50$ км/ч.

Скорость второго поезда:

$v_2 = \frac{S}{T_2} = \frac{270 \text{ км}}{6.75 \text{ ч}} = \frac{27000}{675} = 40$ км/ч.

Ответ: Скорость первого поезда — 50 км/ч, скорость второго поезда — 40 км/ч.

148. От двух пристаней $C$ и $D$ отошли одновременно навстречу друг другу катер и лодка соответственно. Катер прибыл в $D$ через 3 ч 45 мин после встречи с лодкой, а лодка в $C$ — через 1 ч 40 мин после встречи. За какое время каждый из них проплывёт расстояние между $C$ и $D$?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $v_к$ – скорость катера;
• $v_л$ – скорость лодки;
• $S$ – расстояние между пристанями C и D;
• $t_{встречи}$ – время от начала движения до момента встречи.

Переведем время, данное в условии, в минуты для удобства расчетов:

• Время движения катера после встречи: $t_к = 3 \text{ ч } 45 \text{ мин } = 3 \cdot 60 + 45 = 225 \text{ мин}$.
• Время движения лодки после встречи: $t_л = 1 \text{ ч } 40 \text{ мин } = 1 \cdot 60 + 40 = 100 \text{ мин}$.

До момента встречи катер прошел расстояние $S_1 = v_к \cdot t_{встречи}$, а лодка прошла расстояние $S_2 = v_л \cdot t_{встречи}$.

После встречи катеру осталось пройти расстояние $S_2$, и он прошел его за $t_к = 225$ минут. Таким образом, $S_2 = v_к \cdot t_к = v_к \cdot 225$.

Лодке после встречи осталось пройти расстояние $S_1$, и она прошла его за $t_л = 100$ минут. Таким образом, $S_1 = v_л \cdot t_л = v_л \cdot 100$.

Теперь мы можем составить систему уравнений, подставив выражения для $S_1$ и $S_2$ в первые две формулы:

$v_л \cdot 100 = v_к \cdot t_{встречи}$

$v_к \cdot 225 = v_л \cdot t_{встречи}$

Выразим отношение скоростей $\frac{v_к}{v_л}$ из каждого уравнения:

Из первого уравнения: $\frac{v_к}{v_л} = \frac{100}{t_{встречи}}$

Из второго уравнения: $\frac{v_к}{v_л} = \frac{t_{встречи}}{225}$

Приравняем правые части этих выражений:

$\frac{100}{t_{встречи}} = \frac{t_{встречи}}{225}$

Отсюда найдем $t_{встречи}$:

$t_{встречи}^2 = 100 \cdot 225 = 22500$

$t_{встречи} = \sqrt{22500} = 150 \text{ мин}$.

Теперь мы можем найти общее время, которое требуется катеру и лодке, чтобы проплыть всё расстояние между C и D.

Общее время для катера ($T_к$) равно времени до встречи плюс время после встречи:

$T_к = t_{встречи} + t_к = 150 \text{ мин} + 225 \text{ мин} = 375 \text{ мин}$.

Переведем это время в часы и минуты: $375 \text{ мин} = 6 \text{ ч } 15 \text{ мин}$.

Общее время для лодки ($T_л$) равно времени до встречи плюс время после встречи:

$T_л = t_{встречи} + t_л = 150 \text{ мин} + 100 \text{ мин} = 250 \text{ мин}$.

Переведем это время в часы и минуты: $250 \text{ мин} = 4 \text{ ч } 10 \text{ мин}$.

Ответ: Катер проплывет расстояние между C и D за 6 часов 15 минут, а лодка – за 4 часа 10 минут.

149. Скорость автомобиля сначала снизилась на 20 %, а потом повысилась на 20 %. На сколько процентов изменилась первоначальная скорость автомобиля?

Пусть первоначальная скорость автомобиля равна $V$.

Сначала скорость снизилась на 20%. Новая скорость, назовем ее $V_1$, будет составлять $100\% - 20\% = 80\%$ от первоначальной. В виде формулы это выглядит так:

$V_1 = V \cdot (1 - \frac{20}{100}) = V \cdot 0.8 = 0.8V$

Затем новая скорость $V_1$ повысилась на 20%. Важно, что это повышение рассчитывается от текущей скорости $V_1$, а не от первоначальной $V$. Конечная скорость, $V_2$, будет составлять $100\% + 20\% = 120\%$ от скорости $V_1$. В виде формулы:

$V_2 = V_1 \cdot (1 + \frac{20}{100}) = V_1 \cdot 1.2 = 1.2V_1$

Теперь объединим эти два шага, чтобы выразить конечную скорость $V_2$ через первоначальную $V$. Для этого подставим значение $V_1$ из первой формулы во вторую:

$V_2 = 1.2 \cdot (0.8V) = 0.96V$

Таким образом, конечная скорость $V_2$ составляет $0.96$ от первоначальной скорости $V$. Чтобы перевести это в проценты, умножим на 100: $0.96 \cdot 100\% = 96\%$.

Это значит, что итоговая скорость равна 96% от начальной. Чтобы найти, на сколько процентов изменилась скорость, сравним начальное значение (100%) и конечное (96%):

$100\% - 96\% = 4\%$

Поскольку итоговое значение (96%) меньше начального (100%), скорость уменьшилась.

Ответ: первоначальная скорость автомобиля уменьшилась на 4%.

150. Вкладчик положил в банк 50 000 р. под 6 % годовых.

Сколько денег будет на его счёте через 2 года?

Это задача на расчёт сложных процентов, так как проценты за каждый следующий год начисляются на сумму, увеличенную на доход за предыдущий год.

Расчет суммы на счете через 1 год:
Первоначальный вклад составляет 50 000 рублей. Процентная ставка — 6% годовых.
1. Сначала вычислим сумму процентов, начисленную за первый год:
$50000 \cdot \frac{6}{100} = 3000$ рублей.
2. Теперь добавим эту сумму к первоначальному вкладу, чтобы узнать, сколько денег будет на счете через год:
$50000 + 3000 = 53000$ рублей.

Расчет суммы на счете через 2 года:
На начало второго года на счете находится 53 000 рублей. Проценты за второй год будут начисляться на эту новую сумму.
1. Вычислим сумму процентов за второй год:
$53000 \cdot \frac{6}{100} = 3180$ рублей.
2. Добавим проценты за второй год к сумме, которая была на счете после первого года:
$53000 + 3180 = 56180$ рублей.

Задачу также можно решить с помощью формулы сложных процентов:
$S = P \cdot (1 + \frac{i}{100})^n$
где:
$S$ — итоговая сумма,
$P$ — первоначальная сумма (50 000 р.),
$i$ — процентная ставка (6%),
$n$ — количество периодов (2 года).

$S = 50000 \cdot (1 + \frac{6}{100})^2 = 50000 \cdot (1.06)^2 = 50000 \cdot 1.1236 = 56180$ рублей.

Ответ: через 2 года на счёте будет 56 180 рублей.