Страница 105 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

198. Является ли арифметической прогрессией последовательность ($a_n$), заданная формулой $n$-го члена:

1) $a_n = -4n + 5$; 4) $a_n = 7 - 0,8n$;

2) $a_n = 3n^2 - 2$; 5) $a_n = \frac{4}{n+1}$;

3) $a_n = -3,5n$; 6) $a_n = \frac{3n+1}{4}$?

В случае утвердительного ответа укажите первый член и разность прогрессии.

Чтобы определить, является ли последовательность $(a_n)$ арифметической прогрессией, необходимо проверить, является ли разность $d = a_{n+1} - a_n$ постоянной величиной (константой), не зависящей от $n$.

1) $a_n = -4n + 5$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $a_{n+1} = -4(n+1) + 5 = -4n - 4 + 5 = -4n + 1$.
Теперь найдем разность: $d = a_{n+1} - a_n = (-4n + 1) - (-4n + 5) = -4n + 1 + 4n - 5 = -4$.
Поскольку разность $d = -4$ является постоянной величиной, данная последовательность является арифметической прогрессией.
Первый член прогрессии: $a_1 = -4(1) + 5 = 1$.
Разность прогрессии: $d = -4$.

Ответ: Да, является. Первый член $a_1 = 1$, разность $d = -4$.

2) $a_n = 3n^2 - 2$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $a_{n+1} = 3(n+1)^2 - 2 = 3(n^2 + 2n + 1) - 2 = 3n^2 + 6n + 1$.
Теперь найдем разность: $d = a_{n+1} - a_n = (3n^2 + 6n + 1) - (3n^2 - 2) = 3n^2 + 6n + 1 - 3n^2 + 2 = 6n + 3$.
Поскольку разность $d = 6n + 3$ зависит от $n$, данная последовательность не является арифметической прогрессией.

Ответ: Нет, не является.

3) $a_n = -3,5n$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $a_{n+1} = -3,5(n+1) = -3,5n - 3,5$.
Теперь найдем разность: $d = a_{n+1} - a_n = (-3,5n - 3,5) - (-3,5n) = -3,5n - 3,5 + 3,5n = -3,5$.
Поскольку разность $d = -3,5$ является постоянной величиной, данная последовательность является арифметической прогрессией.
Первый член прогрессии: $a_1 = -3,5(1) = -3,5$.
Разность прогрессии: $d = -3,5$.

Ответ: Да, является. Первый член $a_1 = -3,5$, разность $d = -3,5$.

4) $a_n = 7 - 0,8n$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $a_{n+1} = 7 - 0,8(n+1) = 7 - 0,8n - 0,8 = 6,2 - 0,8n$.
Теперь найдем разность: $d = a_{n+1} - a_n = (6,2 - 0,8n) - (7 - 0,8n) = 6,2 - 0,8n - 7 + 0,8n = -0,8$.
Поскольку разность $d = -0,8$ является постоянной величиной, данная последовательность является арифметической прогрессией.
Первый член прогрессии: $a_1 = 7 - 0,8(1) = 6,2$.
Разность прогрессии: $d = -0,8$.

Ответ: Да, является. Первый член $a_1 = 6,2$, разность $d = -0,8$.

5) $a_n = \frac{4}{n+1}$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $a_{n+1} = \frac{4}{(n+1)+1} = \frac{4}{n+2}$.
Теперь найдем разность: $d = a_{n+1} - a_n = \frac{4}{n+2} - \frac{4}{n+1} = \frac{4(n+1) - 4(n+2)}{(n+2)(n+1)} = \frac{4n + 4 - 4n - 8}{(n+2)(n+1)} = \frac{-4}{(n+1)(n+2)}$.
Поскольку разность $d$ зависит от $n$, данная последовательность не является арифметической прогрессией.

Ответ: Нет, не является.

6) $a_n = \frac{3n+1}{4}$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $a_{n+1} = \frac{3(n+1)+1}{4} = \frac{3n+3+1}{4} = \frac{3n+4}{4}$.
Теперь найдем разность: $d = a_{n+1} - a_n = \frac{3n+4}{4} - \frac{3n+1}{4} = \frac{(3n+4) - (3n+1)}{4} = \frac{3n+4-3n-1}{4} = \frac{3}{4}$.
Поскольку разность $d = \frac{3}{4}$ является постоянной величиной, данная последовательность является арифметической прогрессией.
Первый член прогрессии: $a_1 = \frac{3(1)+1}{4} = \frac{4}{4} = 1$.
Разность прогрессии: $d = \frac{3}{4}$.

Ответ: Да, является. Первый член $a_1 = 1$, разность $d = \frac{3}{4}$.

199. Из арифметической прогрессии исключили члены с чётными номерами. Будут ли оставшиеся члены образовывать арифметическую прогрессию?

Пусть дана исходная арифметическая прогрессия $(a_n)$ с первым членом $a_1$ и разностью $d$. Формула n-го члена этой прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Согласно условию задачи, из этой прогрессии исключили все члены с чётными номерами ($a_2, a_4, a_6, \dots$). Следовательно, в последовательности остались только члены с нечётными номерами: $a_1, a_3, a_5, \dots$.

Обозначим новую последовательность как $(b_k)$. Её члены будут равны членам исходной последовательности с нечётными номерами: $b_1 = a_1$, $b_2 = a_3$, $b_3 = a_5$, и так далее. В общем виде, k-й член новой последовательности $b_k$ будет равен (2k-1)-му члену исходной прогрессии: $b_k = a_{2k-1}$.

Чтобы доказать, что последовательность $(b_k)$ является арифметической прогрессией, нужно показать, что разность между любым последующим и предыдущим её членами постоянна. Найдем разность $b_{k+1} - b_k$.

Для этого выразим $b_k$ и $b_{k+1}$ через $a_1$ и $d$, используя формулу n-го члена исходной прогрессии.

$b_k = a_{2k-1} = a_1 + ((2k-1) - 1)d = a_1 + (2k-2)d$.

$b_{k+1} = a_{2(k+1)-1} = a_{2k+1} = a_1 + ((2k+1) - 1)d = a_1 + 2kd$.

Теперь вычислим разность:

$b_{k+1} - b_k = (a_1 + 2kd) - (a_1 + (2k-2)d) = a_1 + 2kd - a_1 - 2kd + 2d = 2d$.

Разность между любыми двумя последовательными членами новой последовательности постоянна и равна $2d$. Это означает, что оставшиеся члены образуют новую арифметическую прогрессию. Её первый член совпадает с первым членом исходной прогрессии ($a_1$), а её разность ($d'$) в два раза больше разности исходной прогрессии ($d' = 2d$).

Ответ: Да, оставшиеся члены будут образовывать арифметическую прогрессию.

200. При каком значении $x$ значения выражений $4x + 5$, $7x - 1$ и $x^2 + 2$ будут последовательными членами арифметической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Пусть данные выражения $4x + 5$, $7x - 1$ и $x^2 + 2$ являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии, обозначим их $a_1$, $a_2$ и $a_3$ соответственно.

Основное свойство арифметической прогрессии для трех последовательных членов заключается в том, что средний член равен среднему арифметическому двух соседних. Это можно записать в виде формулы: $a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2}$, или, что то же самое, $2a_2 = a_1 + a_3$.

Подставим в это равенство наши выражения:
$2(7x - 1) = (4x + 5) + (x^2 + 2)$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $x$:
$14x - 2 = x^2 + 4x + 7$
Перенесем все члены уравнения в правую часть:
$0 = x^2 + 4x - 14x + 7 + 2$
$x^2 - 10x + 9 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение. Его корни можно найти по теореме Виета. Сумма корней равна коэффициенту при $x$, взятому с противоположным знаком, то есть $10$. Произведение корней равно свободному члену, то есть $9$. Подбором находим корни:
$x_1 = 1$
$x_2 = 9$

Теперь, когда мы нашли возможные значения $x$, определим соответствующие им члены арифметической прогрессии.

При $x = 1$:
$a_1 = 4(1) + 5 = 9$
$a_2 = 7(1) - 1 = 6$
$a_3 = 1^2 + 2 = 3$
В этом случае члены прогрессии: 9, 6, 3. Это арифметическая прогрессия с разностью $d = -3$.

При $x = 9$:
$a_1 = 4(9) + 5 = 36 + 5 = 41$
$a_2 = 7(9) - 1 = 63 - 1 = 62$
$a_3 = 9^2 + 2 = 81 + 2 = 83$
В этом случае члены прогрессии: 41, 62, 83. Это арифметическая прогрессия с разностью $d = 21$.

Ответ: задача имеет два решения: при $x=1$ члены прогрессии равны 9, 6, 3; при $x=9$ члены прогрессии равны 41, 62, 83.

201. При каком значении $y$ значения выражений $y^2+2$, $4y+2$, $3y+6$ и $y^2-4y+18$ будут последовательными членами арифметической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Пусть данные выражения являются последовательными членами арифметической прогрессии $a_1, a_2, a_3, a_4$:

$a_1 = y^2 + 2$

$a_2 = 4y + 2$

$a_3 = 3y + 6$

$a_4 = y^2 - 4y + 18$

Основное свойство арифметической прогрессии заключается в том, что каждый её член, начиная со второго, является средним арифметическим соседних с ним членов. Это можно записать в виде формулы: $a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$ или $2a_n = a_{n-1} + a_{n+1}$.

Чтобы все четыре выражения образовывали арифметическую прогрессию, это свойство должно выполняться для $a_2$ и $a_3$.

1. Применим свойство для члена $a_2$:

$2a_2 = a_1 + a_3$

Подставим соответствующие выражения:

$2(4y + 2) = (y^2 + 2) + (3y + 6)$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$8y + 4 = y^2 + 3y + 8$

$y^2 + 3y - 8y + 8 - 4 = 0$

$y^2 - 5y + 4 = 0$

Используя теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения, находим корни: $y_1 = 1$, $y_2 = 4$.

2. Теперь применим свойство для члена $a_3$:

$2a_3 = a_2 + a_4$

Подставим выражения:

$2(3y + 6) = (4y + 2) + (y^2 - 4y + 18)$

Раскроем скобки и решим уравнение:

$6y + 12 = y^2 + 20$

$y^2 - 6y + 20 - 12 = 0$

$y^2 - 6y + 8 = 0$

Находим корни этого квадратного уравнения: $y_1 = 2$, $y_2 = 4$.

Значение $y$ должно удовлетворять обоим условиям одновременно, поэтому мы должны выбрать корень, который является общим для обоих уравнений. Таким общим корнем является $y = 4$.

Теперь, когда мы нашли значение $y$, найдем члены этой прогрессии, подставив $y = 4$ в исходные выражения:

$a_1 = y^2 + 2 = 4^2 + 2 = 16 + 2 = 18$

$a_2 = 4y + 2 = 4(4) + 2 = 16 + 2 = 18$

$a_3 = 3y + 6 = 3(4) + 6 = 12 + 6 = 18$

$a_4 = y^2 - 4y + 18 = 4^2 - 4(4) + 18 = 16 - 16 + 18 = 18$

Полученная последовательность: 18, 18, 18, 18. Это действительно арифметическая прогрессия, разность которой равна нулю ($d=0$).

Ответ: При $y = 4$ значения выражений будут последовательными членами арифметической прогрессии. Члены этой прогрессии: 18, 18, 18, 18.

202. Найдите сумму шестнадцати первых членов арифметической прогрессии $(a_n)$, если $a_1 = 6$, а разность прогрессии $d = 3$.

Для нахождения суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии $(a_n)$ используется формула:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

где $S_n$ — сумма первых $n$ членов, $a_1$ — первый член прогрессии, а $d$ — разность прогрессии.

Согласно условию задачи, мы имеем следующие данные:

Первый член прогрессии $a_1 = 6$.
Разность прогрессии $d = 3$.
Количество членов для суммирования $n = 16$.

Подставим эти значения в формулу для вычисления суммы первых шестнадцати членов ($S_{16}$):

$S_{16} = \frac{2 \cdot 6 + 3(16-1)}{2} \cdot 16$

Выполним вычисления по шагам:

1. Сначала вычислим выражение в скобках: $16 - 1 = 15$.

$S_{16} = \frac{2 \cdot 6 + 3 \cdot 15}{2} \cdot 16$

2. Теперь выполним умножение в числителе: $2 \cdot 6 = 12$ и $3 \cdot 15 = 45$.

$S_{16} = \frac{12 + 45}{2} \cdot 16$

3. Сложим числа в числителе: $12 + 45 = 57$.

$S_{16} = \frac{57}{2} \cdot 16$

4. Умножим дробь на 16. Можно сократить 16 и 2:

$S_{16} = 57 \cdot \frac{16}{2} = 57 \cdot 8$

5. Выполним последнее умножение:

$S_{16} = 456$

Таким образом, сумма шестнадцати первых членов данной арифметической прогрессии равна 456.

Ответ: 456

203. Найдите сумму тридцати первых членов арифметической прогрессии $-8, -4, 0, \dots$

Данная последовательность –8, –4, 0, ... является арифметической прогрессией.
Чтобы найти сумму ее первых тридцати членов, нам нужно определить первый член ($a_1$) и разность прогрессии ($d$).
Первый член прогрессии $a_1 = -8$.
Разность прогрессии $d$ — это число, на которое каждый следующий член отличается от предыдущего. Найдем ее, вычтя из второго члена первый:
$d = a_2 - a_1 = -4 - (-8) = -4 + 8 = 4$.
Теперь воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:
$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$.
В нашем случае $n = 30$, $a_1 = -8$ и $d = 4$. Подставим эти значения в формулу:
$S_{30} = \frac{2 \cdot (-8) + 4 \cdot (30-1)}{2} \cdot 30$
$S_{30} = \frac{-16 + 4 \cdot 29}{2} \cdot 30$
$S_{30} = \frac{-16 + 116}{2} \cdot 30$
$S_{30} = \frac{100}{2} \cdot 30$
$S_{30} = 50 \cdot 30 = 1500$.
Ответ: 1500

204. Арифметическая прогрессия $(a_n)$ задана формулой $n$-го члена $a_n = 3n-1$. Найдите сумму сорока семи первых членов прогрессии.

Чтобы найти сумму первых $n$ членов арифметической прогрессии, можно воспользоваться формулой:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

где $a_1$ — это первый член прогрессии, $a_n$ — $n$-й член, а $n$ — количество членов, сумму которых нужно найти.

По условию задачи, формула для $n$-го члена прогрессии — $a_n = 3n - 1$. Нам нужно найти сумму сорока семи первых членов, следовательно, $n = 47$.

1. Найдём первый член прогрессии ($a_1$)

Для этого подставим $n=1$ в формулу $n$-го члена:

$a_1 = 3 \cdot 1 - 1 = 3 - 1 = 2$

2. Найдём сорок седьмой член прогрессии ($a_{47}$)

Подставим $n=47$ в ту же формулу:

$a_{47} = 3 \cdot 47 - 1 = 141 - 1 = 140$

3. Найдём сумму сорока семи первых членов ($S_{47}$)

Теперь подставим найденные значения $a_1 = 2$, $a_{47} = 140$ и $n = 47$ в формулу суммы:

$S_{47} = \frac{2 + 140}{2} \cdot 47 = \frac{142}{2} \cdot 47 = 71 \cdot 47$

$71 \cdot 47 = 3337$

Таким образом, сумма сорока семи первых членов прогрессии равна 3337.

Ответ: 3337

205. Найдите сумму двадцати первых членов арифметической прогрессии $($$a_n$$)$, если:

1) $a_1 = 7, a_{11} = 27;$

2) $a_5 = 58, a_{15} = 16.$

Для решения задачи нам понадобится формула суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

где $a_1$ — первый член прогрессии, $d$ — разность прогрессии, $n$ — количество членов. Также нам понадобится формула $n$-го члена прогрессии:

$a_n = a_1 + d(n-1)$

В обоих случаях нам нужно найти сумму двадцати первых членов, то есть $S_{20}$.

1) Дано: $a_1 = 7$, $a_{11} = 27$.

Сначала найдем разность арифметической прогрессии $d$.

Используя формулу для $a_{11}$, получаем:

$a_{11} = a_1 + d(11-1) = a_1 + 10d$

Подставим известные значения $a_1$ и $a_{11}$:

$27 = 7 + 10d$

Решим уравнение относительно $d$:

$10d = 27 - 7$

$10d = 20$

$d = 2$

Теперь, когда мы знаем $a_1 = 7$ и $d = 2$, можем найти сумму первых 20 членов ($n=20$):

$S_{20} = \frac{2a_1 + d(20-1)}{2} \cdot 20$

$S_{20} = (2a_1 + 19d) \cdot 10$

Подставляем значения $a_1$ и $d$:

$S_{20} = (2 \cdot 7 + 19 \cdot 2) \cdot 10$

$S_{20} = (14 + 38) \cdot 10$

$S_{20} = 52 \cdot 10 = 520$

Ответ: 520

2) Дано: $a_5 = 58$, $a_{15} = 16$.

В этом случае нам неизвестны ни первый член $a_1$, ни разность $d$. Составим систему уравнений, используя формулу $n$-го члена:

$\begin{cases} a_5 = a_1 + d(5-1) \\ a_{15} = a_1 + d(15-1) \end{cases}$

Подставим известные значения:

$\begin{cases} 58 = a_1 + 4d \\ 16 = a_1 + 14d \end{cases}$

Для нахождения $d$ вычтем первое уравнение из второго:

$(a_1 + 14d) - (a_1 + 4d) = 16 - 58$

$10d = -42$

$d = -4.2$

Теперь найдем $a_1$, подставив значение $d$ в первое уравнение системы:

$58 = a_1 + 4(-4.2)$

$58 = a_1 - 16.8$

$a_1 = 58 + 16.8$

$a_1 = 74.8$

Теперь, когда мы знаем $a_1 = 74.8$ и $d = -4.2$, можем найти сумму первых 20 членов ($n=20$):

$S_{20} = (2a_1 + 19d) \cdot 10$

Подставляем найденные значения $a_1$ и $d$:

$S_{20} = (2 \cdot 74.8 + 19 \cdot (-4.2)) \cdot 10$

$S_{20} = (149.6 - 79.8) \cdot 10$

$S_{20} = 69.8 \cdot 10 = 698$

Ответ: 698

206. Найдите сумму пятнадцати первых членов арифметической прогрессии $(a_n)$, если $a_{15} = 52$, а разность прогрессии $d = 4$.

Для того чтобы найти сумму первых пятнадцати членов арифметической прогрессии ($S_{15}$), можно использовать формулу суммы $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

В данном случае нам известны $n=15$, $a_{15} = 52$ и разность прогрессии $d = 4$. Однако для использования формулы суммы нам неизвестен первый член прогрессии $a_1$.

Найдем $a_1$, используя формулу n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставим в эту формулу известные нам значения для $n=15$:

$a_{15} = a_1 + (15-1) \cdot d$

$52 = a_1 + 14 \cdot 4$

$52 = a_1 + 56$

Отсюда находим $a_1$:

$a_1 = 52 - 56 = -4$

Теперь, зная $a_1 = -4$ и $a_{15} = 52$, мы можем вычислить сумму первых пятнадцати членов прогрессии:

$S_{15} = \frac{a_1 + a_{15}}{2} \cdot 15$

$S_{15} = \frac{-4 + 52}{2} \cdot 15$

$S_{15} = \frac{48}{2} \cdot 15$

$S_{15} = 24 \cdot 15$

$S_{15} = 360$

Ответ: 360.