Страница 106 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

207. Найдите сумму шестнадцати первых членов арифметической прогрессии $(a_n)$, если $a_5 + a_7 - a_{12} = -9$ и $a_3 + a_{20} = 74$.

Для решения задачи воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член прогрессии, а $d$ — её разность.

Сначала выразим члены прогрессии, данные в условии, через $a_1$ и $d$.

Из первого условия $a_5 + a_7 - a_{12} = -9$ получаем:

$(a_1 + (5-1)d) + (a_1 + (7-1)d) - (a_1 + (12-1)d) = -9$

$(a_1 + 4d) + (a_1 + 6d) - (a_1 + 11d) = -9$

$a_1 + 4d + a_1 + 6d - a_1 - 11d = -9$

$a_1 - d = -9$

Из второго условия $a_3 + a_{20} = 74$ получаем:

$(a_1 + (3-1)d) + (a_1 + (20-1)d) = 74$

$(a_1 + 2d) + (a_1 + 19d) = 74$

$2a_1 + 21d = 74$

Теперь решим систему из двух полученных уравнений:

$\begin{cases} a_1 - d = -9 \\ 2a_1 + 21d = 74 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $a_1$: $a_1 = d - 9$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$2(d - 9) + 21d = 74$

$2d - 18 + 21d = 74$

$23d = 74 + 18$

$23d = 92$

$d = \frac{92}{23} = 4$

Теперь найдем $a_1$, подставив значение $d$ в выражение $a_1 = d - 9$:

$a_1 = 4 - 9 = -5$

Мы нашли первый член прогрессии $a_1 = -5$ и разность $d = 4$.

Теперь найдем сумму шестнадцати первых членов прогрессии ($S_{16}$) по формуле суммы: $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$.

$S_{16} = \frac{2 \cdot (-5) + (16-1) \cdot 4}{2} \cdot 16$

$S_{16} = \frac{-10 + 15 \cdot 4}{2} \cdot 16$

$S_{16} = \frac{-10 + 60}{2} \cdot 16$

$S_{16} = \frac{50}{2} \cdot 16$

$S_{16} = 25 \cdot 16 = 400$

Ответ: 400

208. При любом $n$ сумму $n$ первых членов некоторой арифметической прогрессии можно вычислить по формуле $S_n = 5n^2 - 3n$. Найдите первый член и разность этой прогрессии.

Пусть дана арифметическая прогрессия $a_n$. Сумма ее первых $n$ членов вычисляется по формуле $S_n = 5n^2 - 3n$.

1. Нахождение первого члена прогрессии ($a_1$)

Сумма одного первого члена прогрессии ($S_1$) равна самому первому члену ($a_1$). Чтобы найти $a_1$, подставим в данную формулу значение $n=1$:

$a_1 = S_1 = 5(1)^2 - 3(1) = 5 \cdot 1 - 3 = 2$.

Таким образом, первый член прогрессии $a_1 = 2$.

2. Нахождение разности прогрессии ($d$)

Чтобы найти разность прогрессии, нам нужно знать как минимум два последовательных члена. Найдем второй член прогрессии, $a_2$.

Сумма первых двух членов прогрессии $S_2$ равна $a_1 + a_2$. Вычислим $S_2$, подставив $n=2$ в формулу:

$S_2 = 5(2)^2 - 3(2) = 5 \cdot 4 - 6 = 20 - 6 = 14$.

Мы знаем, что $S_2 = a_1 + a_2$. Отсюда можем выразить $a_2$:

$a_2 = S_2 - a_1$.

Подставим известные значения $S_2=14$ и $a_1=2$:

$a_2 = 14 - 2 = 12$.

Теперь, зная первый и второй члены прогрессии, мы можем найти ее разность $d$ по формуле $d = a_2 - a_1$:

$d = 12 - 2 = 10$.

Итак, мы нашли первый член и разность прогрессии.

Проверка:

Общая формула суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$.

Подставим найденные нами значения $a_1 = 2$ и $d = 10$ в эту формулу:

$S_n = \frac{2(2) + 10(n-1)}{2} \cdot n = \frac{4 + 10n - 10}{2} \cdot n = \frac{10n - 6}{2} \cdot n = (5n - 3)n = 5n^2 - 3n$.

Полученная формула полностью совпадает с формулой, данной в условии задачи, что подтверждает правильность наших вычислений.

Ответ: первый член равен 2, разность равна 10.

209. Найдите сумму всех отрицательных членов арифметической прогрессии $-6,8; -6,4; -6; \dots$

Дана арифметическая прогрессия, первый член которой $a_1 = -6,8$, а второй $a_2 = -6,4$.

Найдем разность арифметической прогрессии $d$:

$d = a_2 - a_1 = -6,4 - (-6,8) = -6,4 + 6,8 = 0,4$.

Для того чтобы найти сумму всех отрицательных членов, необходимо определить их количество. Для этого решим неравенство $a_n < 0$, где $a_n$ — n-й член прогрессии, который вычисляется по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставим известные значения в неравенство:

$-6,8 + (n-1) \cdot 0,4 < 0$

Перенесем -6,8 в правую часть:

$0,4(n-1) < 6,8$

Разделим обе части на 0,4:

$n-1 < \frac{6,8}{0,4}$

$n-1 < 17$

$n < 18$

Поскольку номер члена прогрессии $n$ должен быть натуральным числом, это означает, что все члены с 1-го по 17-й включительно являются отрицательными. Таким образом, всего в прогрессии 17 отрицательных членов.

Теперь найдем сумму этих 17 членов ($S_{17}$). Воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

Сначала найдем последний отрицательный член, $a_{17}$:

$a_{17} = a_1 + (17-1)d = -6,8 + 16 \cdot 0,4 = -6,8 + 6,4 = -0,4$.

Теперь вычислим сумму:

$S_{17} = \frac{a_1 + a_{17}}{2} \cdot 17 = \frac{-6,8 + (-0,4)}{2} \cdot 17 = \frac{-7,2}{2} \cdot 17 = -3,6 \cdot 17$.

Вычислим произведение:

$-3,6 \cdot 17 = -61,2$.

Ответ: -61,2.

210. Найдите сумму всех натуральных чисел, которые кратны 6 и не больше 234.

Нам нужно найти сумму всех натуральных чисел, которые делятся на 6 и не превышают 234. Эти числа образуют арифметическую прогрессию.

1. Определение параметров арифметической прогрессии
Первый член прогрессии ($a_1$) — это наименьшее натуральное число, кратное 6.
$a_1 = 6$
Разность прогрессии ($d$) также равна 6, так как мы рассматриваем последовательные числа, кратные 6.
$d = 6$
Последний член прогрессии ($a_n$) — это наибольшее число, кратное 6, которое не больше 234. Проверим, делится ли 234 на 6:
$234 \div 6 = 39$
Так как 234 делится на 6 без остатка, то оно является последним членом прогрессии.
$a_n = 234$

2. Нахождение количества членов прогрессии
Воспользуемся формулой для нахождения n-го члена арифметической прогрессии:
$a_n = a_1 + (n - 1)d$
Подставим известные значения и решим уравнение относительно $n$:
$234 = 6 + (n - 1) \cdot 6$
$234 - 6 = (n - 1) \cdot 6$
$228 = (n - 1) \cdot 6$
$n - 1 = \frac{228}{6}$
$n - 1 = 38$
$n = 39$
Следовательно, в данной последовательности 39 чисел.

3. Вычисление суммы прогрессии
Теперь найдем сумму этих 39 чисел, используя формулу суммы арифметической прогрессии:
$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$
Подставим найденные значения:
$S_{39} = \frac{6 + 234}{2} \cdot 39$
$S_{39} = \frac{240}{2} \cdot 39$
$S_{39} = 120 \cdot 39$
$S_{39} = 4680$

Ответ: 4680

211. Найдите сумму всех натуральных чисел, которые кратны 4 и не больше 182.

Нам необходимо найти сумму всех натуральных чисел, которые кратны 4 и не превышают 182. Эти числа образуют арифметическую прогрессию.

1. Найдем первый член прогрессии ($a_1$).
Наименьшее натуральное число, кратное 4, — это 4. Следовательно, $a_1 = 4$.

2. Определим разность прогрессии ($d$).
Поскольку мы рассматриваем числа, кратные 4, каждое следующее число на 4 больше предыдущего. Значит, $d = 4$.

3. Найдем последний член прогрессии ($a_n$), который не больше 182.
Для этого разделим 182 на 4, чтобы найти наибольшее кратное 4 число, не превосходящее 182.
$182 \div 4 = 45.5$
Наибольшее целое число, не превосходящее 45.5, — это 45. Таким образом, последний член прогрессии $a_n$ равен:
$a_n = 4 \cdot 45 = 180$.

4. Найдем количество членов в прогрессии ($n$).
Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим известные значения:
$180 = 4 + (n-1) \cdot 4$
$180 - 4 = (n-1) \cdot 4$
$176 = (n-1) \cdot 4$
$n-1 = \frac{176}{4}$
$n-1 = 44$
$n = 45$
Итак, в последовательности 45 чисел.

5. Вычислим сумму прогрессии ($S_n$).
Используем формулу суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:
$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$
Подставим наши значения:
$S_{45} = \frac{4 + 180}{2} \cdot 45$
$S_{45} = \frac{184}{2} \cdot 45$
$S_{45} = 92 \cdot 45$
$S_{45} = 4140$

Ответ: 4140.

212. Найдите сумму всех натуральных чисел, которые меньше 114 и при делении на 3 дают в остатке 2.

Нам необходимо найти сумму всех натуральных чисел, которые удовлетворяют двум условиям: они меньше 114 и при делении на 3 дают в остатке 2.

Такие числа образуют арифметическую прогрессию. Общая формула для чисел, дающих остаток 2 при делении на 3, имеет вид $3k + 2$, где $k$ — целое неотрицательное число.

Выпишем несколько первых членов этой последовательности, чтобы определить параметры прогрессии:

• При $k=0$: $3 \cdot 0 + 2 = 2$
• При $k=1$: $3 \cdot 1 + 2 = 5$
• При $k=2$: $3 \cdot 2 + 2 = 8$

Таким образом, мы имеем дело с арифметической прогрессией ($a_n$), где первый член $a_1 = 2$, а разность прогрессии $d = 3$.

Теперь найдем последний член прогрессии ($a_n$), который меньше 114.

$a_n < 114$
$3k + 2 < 114$
$3k < 112$
$k < \frac{112}{3}$
$k < 37.33...$

Поскольку $k$ должно быть целым числом, его максимальное значение равно 37. Найдем последний член прогрессии, подставив это значение $k$:
$a_n = 3 \cdot 37 + 2 = 111 + 2 = 113$.

Теперь нужно найти количество членов в этой прогрессии ($n$). Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
$113 = 2 + (n-1) \cdot 3$
$111 = (n-1) \cdot 3$
$n-1 = \frac{111}{3}$
$n-1 = 37$
$n = 38$

Итак, в нашей прогрессии 38 членов. Теперь мы можем найти их сумму ($S_n$) по формуле суммы арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
$S_{38} = \frac{2 + 113}{2} \cdot 38$
$S_{38} = \frac{115}{2} \cdot 38$
$S_{38} = 115 \cdot 19$
$S_{38} = 2185$

Ответ: 2185

213. Найдите разность и восемнадцатый член арифметической прогрессии, первый член которой равен 10, а сумма четырнадцати первых членов равна 1050.

По условию задачи нам даны следующие параметры арифметической прогрессии:

• Первый член прогрессии: $a_1 = 10$.
• Сумма первых четырнадцати членов: $S_{14} = 1050$.

Необходимо найти разность прогрессии ($d$) и ее восемнадцатый член ($a_{18}$).

разность

Для нахождения разности прогрессии ($d$) воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:
$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Подставим в эту формулу известные нам значения: $n=14$, $a_1=10$ и $S_{14}=1050$:
$1050 = \frac{2 \cdot 10 + d(14-1)}{2} \cdot 14$

Упростим полученное выражение, сократив 14 и 2:
$1050 = (20 + 13d) \cdot 7$

Теперь разделим обе части уравнения на 7:
$\frac{1050}{7} = 20 + 13d$
$150 = 20 + 13d$

Перенесем 20 в левую часть уравнения, чтобы найти $13d$:
$13d = 150 - 20$
$13d = 130$

Найдем $d$:
$d = \frac{130}{13}$
$d = 10$

Ответ: 10.

восемнадцатый член

Для нахождения восемнадцатого члена ($a_{18}$) используем формулу $n$-го члена арифметической прогрессии:
$a_n = a_1 + d(n-1)$

Мы знаем первый член $a_1=10$ и мы нашли разность $d=10$. Подставим эти значения в формулу для $n=18$:
$a_{18} = 10 + 10 \cdot (18-1)$
$a_{18} = 10 + 10 \cdot 17$
$a_{18} = 10 + 170$
$a_{18} = 180$

Ответ: 180.

214. Найдите первый и пятый члены арифметической прогрессии, если её разность равна 8, а сумма восьми её первых членов равна 200.

Для решения задачи воспользуемся формулами для арифметической прогрессии. Пусть $a_1$ — первый член прогрессии, $d$ — её разность.

По условию задачи нам даны:

• разность прогрессии $d = 8$;
• сумма первых восьми членов $S_8 = 200$.

Необходимо найти первый член $a_1$ и пятый член $a_5$.

Первый член

Формула суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии выглядит следующим образом:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Подставим в эту формулу известные нам значения: $n=8$, $S_8=200$ и $d=8$.

$200 = \frac{2a_1 + 8(8-1)}{2} \cdot 8$

Теперь решим полученное уравнение относительно $a_1$:

$200 = (2a_1 + 8 \cdot 7) \cdot 4$

$200 = (2a_1 + 56) \cdot 4$

Разделим обе части уравнения на 4:

$50 = 2a_1 + 56$

Выразим $2a_1$:

$2a_1 = 50 - 56$

$2a_1 = -6$

Отсюда находим $a_1$:

$a_1 = -3$

Пятый член

Формула для нахождения $n$-го члена арифметической прогрессии:

$a_n = a_1 + d(n-1)$

Чтобы найти пятый член прогрессии $a_5$, подставим в формулу найденное значение $a_1 = -3$, а также $n=5$ и $d=8$:

$a_5 = -3 + 8(5-1)$

Выполним вычисления:

$a_5 = -3 + 8 \cdot 4$

$a_5 = -3 + 32$

$a_5 = 29$

Ответ: первый член равен -3, пятый член равен 29.

215. Первый член арифметической прогрессии равен -4, а разность равна 6. Сколько надо взять первых членов прогрессии, чтобы их сумма была равной 570?

По условию задачи, мы имеем дело с арифметической прогрессией, у которой заданы следующие параметры:

• Первый член прогрессии $a_1 = -4$
• Разность прогрессии $d = 6$
• Сумма первых $n$ членов прогрессии $S_n = 570$

Необходимо найти количество членов $n$.

Формула для нахождения суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии выглядит следующим образом:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Подставим известные значения в эту формулу:

$570 = \frac{2 \cdot (-4) + 6 \cdot (n-1)}{2} \cdot n$

Теперь необходимо решить полученное уравнение относительно $n$. Упростим выражение в числителе дроби:

$570 = \frac{-8 + 6n - 6}{2} \cdot n$

$570 = \frac{6n - 14}{2} \cdot n$

Разделим числитель на 2:

$570 = (3n - 7) \cdot n$

Раскроем скобки:

$570 = 3n^2 - 7n$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$3n^2 - 7n - 570 = 0$

Для решения этого уравнения найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-570) = 49 + 12 \cdot 570 = 49 + 6840 = 6889$

Теперь найдем корни уравнения, используя формулу $n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{6889} = 83$

$n_1 = \frac{-(-7) + 83}{2 \cdot 3} = \frac{7 + 83}{6} = \frac{90}{6} = 15$

$n_2 = \frac{-(-7) - 83}{2 \cdot 3} = \frac{7 - 83}{6} = \frac{-76}{6} = -\frac{38}{3}$

Поскольку количество членов прогрессии $n$ по определению должно быть натуральным числом (целым и положительным), корень $n_2 = -\frac{38}{3}$ не является решением задачи.

Таким образом, единственным подходящим решением является $n = 15$.

Ответ: 15.

216. Найдите сумму членов арифметической прогрессии с шестого по двадцать третий включительно, если первый член прогрессии равен 28, а разность прогрессии равна -3.

По условию задачи, дана арифметическая прогрессия, у которой первый член $a_1 = 28$ и разность $d = -3$. Необходимо найти сумму членов с шестого по двадцать третий включительно.

Искомую сумму можно найти, рассматривая члены с $a_6$ по $a_{23}$ как отдельную арифметическую прогрессию. Для нахождения ее суммы воспользуемся формулой: $S = \frac{\text{первый член} + \text{последний член}}{2} \cdot \text{количество членов}$

В данном случае, первым членом является $a_6$, последним — $a_{23}$.

1. Сначала найдем значения $a_6$ и $a_{23}$ по формуле n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Найдем шестой член ($a_6$):
$a_6 = a_1 + (6-1)d = 28 + 5 \cdot (-3) = 28 - 15 = 13$.

Найдем двадцать третий член ($a_{23}$):
$a_{23} = a_1 + (23-1)d = 28 + 22 \cdot (-3) = 28 - 66 = -38$.

2. Теперь определим количество членов в последовательности с 6-го по 23-й включительно. Обозначим его как $k$.
$k = 23 - 6 + 1 = 18$.

3. Подставим найденные значения $a_6$, $a_{23}$ и $k$ в формулу суммы:
$S = \frac{a_6 + a_{23}}{2} \cdot k = \frac{13 + (-38)}{2} \cdot 18$.

Выполним вычисления:
$S = \frac{13 - 38}{2} \cdot 18 = \frac{-25}{2} \cdot 18 = -25 \cdot 9 = -225$.

Ответ: -225

217. Найдите сумму членов арифметической прогрессии $(x_n)$ с двенадцатого по двадцать девятый включительно, если $x_1 = 7$ и $x_{15} = 42$.

Для нахождения суммы членов арифметической прогрессии с двенадцатого по двадцать девятый, необходимо сначала найти разность прогрессии ($d$), затем вычислить двенадцатый ($x_{12}$) и двадцать девятый ($x_{29}$) члены прогрессии. После этого можно использовать формулу суммы членов арифметической прогрессии.

1. Найдем разность арифметической прогрессии ($d$).Формула n-го члена арифметической прогрессии: $x_n = x_1 + (n-1)d$. Нам даны $x_1 = 7$ и $x_{15} = 42$. Подставим эти значения в формулу для $n=15$:$x_{15} = x_1 + (15-1)d$$42 = 7 + 14d$$14d = 42 - 7$$14d = 35$$d = \frac{35}{14} = \frac{5}{2} = 2,5$

2. Теперь найдем $x_{12}$ и $x_{29}$, которые являются первым и последним членами искомой суммы.$x_{12} = x_1 + (12-1)d = 7 + 11 \cdot 2,5 = 7 + 27,5 = 34,5$$x_{29} = x_1 + (29-1)d = 7 + 28 \cdot 2,5 = 7 + 70 = 77$

3. Вычислим сумму членов прогрессии с двенадцатого по двадцать девятый. Количество членов в этой последовательности равно $n = 29 - 12 + 1 = 18$. Формула суммы $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$, где $a_1$ — первый член, $a_n$ — последний член, а $n$ — количество членов. В нашем случае $a_1 = x_{12}$, $a_n = x_{29}$, а $n=18$.$S = \frac{x_{12} + x_{29}}{2} \cdot 18$$S = \frac{34,5 + 77}{2} \cdot 18 = \frac{111,5}{2} \cdot 18 = 111,5 \cdot 9 = 1003,5$

Ответ: 1003,5.

218. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии, если сумма пяти первых её членов равна 10, а сумма двенадцати первых членов равна -102.

Обозначим первый член арифметической прогрессии как $a_1$, а её разность как $d$.

Формула для нахождения суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии имеет вид: $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Согласно условию, сумма пяти первых членов прогрессии равна 10. Используем формулу для $n=5$: $S_5 = 10$ $\frac{2a_1 + d(5-1)}{2} \cdot 5 = 10$ $\frac{2a_1 + 4d}{2} \cdot 5 = 10$ $(a_1 + 2d) \cdot 5 = 10$ $a_1 + 2d = \frac{10}{5}$ $a_1 + 2d = 2$

Также по условию, сумма двенадцати первых членов равна -102. Используем формулу для $n=12$: $S_{12} = -102$ $\frac{2a_1 + d(12-1)}{2} \cdot 12 = -102$ $(2a_1 + 11d) \cdot 6 = -102$ $2a_1 + 11d = \frac{-102}{6}$ $2a_1 + 11d = -17$

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными $a_1$ и $d$: $\begin{cases} a_1 + 2d = 2 \\ 2a_1 + 11d = -17 \end{cases}$

Решим эту систему. Из первого уравнения выразим $a_1$: $a_1 = 2 - 2d$

Подставим полученное выражение для $a_1$ во второе уравнение: $2(2 - 2d) + 11d = -17$ $4 - 4d + 11d = -17$ $4 + 7d = -17$ $7d = -17 - 4$ $7d = -21$ $d = -3$

Теперь, зная разность $d$, найдем первый член $a_1$, подставив значение $d$ в выражение для $a_1$: $a_1 = 2 - 2(-3)$ $a_1 = 2 + 6$ $a_1 = 8$

Таким образом, первый член прогрессии равен 8, а её разность равна -3.

Ответ: первый член равен 8, разность равна -3.

219. Решите уравнение:

1) $9+17+25+\dots+(8n+1)=125$, где $n$ — натуральное число;

2) $3+7+11+\dots+x=136$, где $x$ — натуральное число.

1) $9 + 17 + 25 + ... + (8n + 1) = 125$, где $n$ — натуральное число

Левая часть уравнения представляет собой сумму членов арифметической прогрессии.

Найдем первый член $a_1$ и разность прогрессии $d$.

Первый член $a_1 = 9$.

Разность прогрессии $d = 17 - 9 = 8$.

Общий член этой прогрессии имеет вид $a_k = a_1 + (k-1)d = 9 + (k-1)8 = 9 + 8k - 8 = 8k+1$.

Последний член в сумме равен $(8n+1)$. Сравнивая его с формулой общего члена $a_k = 8k+1$, видим, что $k=n$. Это означает, что в сумме ровно $n$ членов. Последний член прогрессии $a_n = 8n+1$.

Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

Подставим известные значения в формулу:

$125 = \frac{9 + (8n + 1)}{2} \cdot n$

$125 = \frac{10 + 8n}{2} \cdot n$

$125 = (5 + 4n) \cdot n$

$125 = 5n + 4n^2$

Получили квадратное уравнение:

$4n^2 + 5n - 125 = 0$

Решим его, используя формулу для корней квадратного уравнения. Дискриминант $D$ равен:

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-125) = 25 + 16 \cdot 125 = 25 + 2000 = 2025$

$\sqrt{D} = \sqrt{2025} = 45$

Найдем корни уравнения:

$n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 45}{2 \cdot 4} = \frac{40}{8} = 5$

$n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 45}{2 \cdot 4} = \frac{-50}{8} = -6.25$

По условию задачи, $n$ — натуральное число, поэтому корень $n_2 = -6.25$ не подходит.

Следовательно, $n=5$.

Ответ: $n=5$.

2) $3 + 7 + 11 + ... + x = 136$, где $x$ — натуральное число.

Левая часть уравнения также является суммой членов арифметической прогрессии.

Найдем первый член $a_1$ и разность прогрессии $d$.

Первый член $a_1 = 3$.

Разность прогрессии $d = 7 - 3 = 4$.

Последний член прогрессии равен $x$. Обозначим его как $n$-й член $a_n = x$. Количество членов в сумме равно $n$.

Выразим $n$-й член через $n$ по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$:

$x = 3 + (n-1)4 = 3 + 4n - 4 = 4n - 1$.

Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии $S_n = 136$. Воспользуемся формулой суммы:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

Подставим известные значения:

$136 = \frac{3 + x}{2} \cdot n$

Мы получили уравнение с двумя переменными, $x$ и $n$. Подставим выражение для $x$ через $n$ ($x = 4n - 1$) в это уравнение:

$136 = \frac{3 + (4n - 1)}{2} \cdot n$

$136 = \frac{2 + 4n}{2} \cdot n$

$136 = (1 + 2n) \cdot n$

$136 = n + 2n^2$

Получили квадратное уравнение:

$2n^2 + n - 136 = 0$

Решим его. Дискриминант $D$ равен:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-136) = 1 + 8 \cdot 136 = 1 + 1088 = 1089$

$\sqrt{D} = \sqrt{1089} = 33$

Найдем корни уравнения:

$n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 33}{2 \cdot 2} = \frac{32}{4} = 8$

$n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 33}{2 \cdot 2} = \frac{-34}{4} = -8.5$

Поскольку $n$ (количество членов) должно быть натуральным числом, корень $n_2 = -8.5$ не подходит. Значит, в сумме 8 членов.

Теперь найдем $x$, которое является восьмым членом прогрессии ($a_8$):

$x = a_8 = 4n - 1 = 4 \cdot 8 - 1 = 32 - 1 = 31$.

Ответ: $x=31$.