Номер 207, страница 106 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

207. Найдите сумму шестнадцати первых членов арифметической прогрессии $(a_n)$, если $a_5 + a_7 - a_{12} = -9$ и $a_3 + a_{20} = 74$.

Для решения задачи воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член прогрессии, а $d$ — её разность.

Сначала выразим члены прогрессии, данные в условии, через $a_1$ и $d$.

Из первого условия $a_5 + a_7 - a_{12} = -9$ получаем:

$(a_1 + (5-1)d) + (a_1 + (7-1)d) - (a_1 + (12-1)d) = -9$

$(a_1 + 4d) + (a_1 + 6d) - (a_1 + 11d) = -9$

$a_1 + 4d + a_1 + 6d - a_1 - 11d = -9$

$a_1 - d = -9$

Из второго условия $a_3 + a_{20} = 74$ получаем:

$(a_1 + (3-1)d) + (a_1 + (20-1)d) = 74$

$(a_1 + 2d) + (a_1 + 19d) = 74$

$2a_1 + 21d = 74$

Теперь решим систему из двух полученных уравнений:

$\begin{cases} a_1 - d = -9 \\ 2a_1 + 21d = 74 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $a_1$: $a_1 = d - 9$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$2(d - 9) + 21d = 74$

$2d - 18 + 21d = 74$

$23d = 74 + 18$

$23d = 92$

$d = \frac{92}{23} = 4$

Теперь найдем $a_1$, подставив значение $d$ в выражение $a_1 = d - 9$:

$a_1 = 4 - 9 = -5$

Мы нашли первый член прогрессии $a_1 = -5$ и разность $d = 4$.

Теперь найдем сумму шестнадцати первых членов прогрессии ($S_{16}$) по формуле суммы: $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$.

$S_{16} = \frac{2 \cdot (-5) + (16-1) \cdot 4}{2} \cdot 16$

$S_{16} = \frac{-10 + 15 \cdot 4}{2} \cdot 16$

$S_{16} = \frac{-10 + 60}{2} \cdot 16$

$S_{16} = \frac{50}{2} \cdot 16$

$S_{16} = 25 \cdot 16 = 400$

Ответ: 400