Номер 201, страница 105 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

201. При каком значении $y$ значения выражений $y^2+2$, $4y+2$, $3y+6$ и $y^2-4y+18$ будут последовательными членами арифметической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Пусть данные выражения являются последовательными членами арифметической прогрессии $a_1, a_2, a_3, a_4$:

$a_1 = y^2 + 2$

$a_2 = 4y + 2$

$a_3 = 3y + 6$

$a_4 = y^2 - 4y + 18$

Основное свойство арифметической прогрессии заключается в том, что каждый её член, начиная со второго, является средним арифметическим соседних с ним членов. Это можно записать в виде формулы: $a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$ или $2a_n = a_{n-1} + a_{n+1}$.

Чтобы все четыре выражения образовывали арифметическую прогрессию, это свойство должно выполняться для $a_2$ и $a_3$.

1. Применим свойство для члена $a_2$:

$2a_2 = a_1 + a_3$

Подставим соответствующие выражения:

$2(4y + 2) = (y^2 + 2) + (3y + 6)$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$8y + 4 = y^2 + 3y + 8$

$y^2 + 3y - 8y + 8 - 4 = 0$

$y^2 - 5y + 4 = 0$

Используя теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения, находим корни: $y_1 = 1$, $y_2 = 4$.

2. Теперь применим свойство для члена $a_3$:

$2a_3 = a_2 + a_4$

Подставим выражения:

$2(3y + 6) = (4y + 2) + (y^2 - 4y + 18)$

Раскроем скобки и решим уравнение:

$6y + 12 = y^2 + 20$

$y^2 - 6y + 20 - 12 = 0$

$y^2 - 6y + 8 = 0$

Находим корни этого квадратного уравнения: $y_1 = 2$, $y_2 = 4$.

Значение $y$ должно удовлетворять обоим условиям одновременно, поэтому мы должны выбрать корень, который является общим для обоих уравнений. Таким общим корнем является $y = 4$.

Теперь, когда мы нашли значение $y$, найдем члены этой прогрессии, подставив $y = 4$ в исходные выражения:

$a_1 = y^2 + 2 = 4^2 + 2 = 16 + 2 = 18$

$a_2 = 4y + 2 = 4(4) + 2 = 16 + 2 = 18$

$a_3 = 3y + 6 = 3(4) + 6 = 12 + 6 = 18$

$a_4 = y^2 - 4y + 18 = 4^2 - 4(4) + 18 = 16 - 16 + 18 = 18$

Полученная последовательность: 18, 18, 18, 18. Это действительно арифметическая прогрессия, разность которой равна нулю ($d=0$).

Ответ: При $y = 4$ значения выражений будут последовательными членами арифметической прогрессии. Члены этой прогрессии: 18, 18, 18, 18.