Номер 197, страница 104 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

197. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии $(a_n)$, если:

1) $a_3 + a_5 = -2$ и $a_7 + a_{10} = 4;$

2) $a_2 + a_6 = 24$ и $a_2 \cdot a_3 = 54.$

1)

Обозначим первый член арифметической прогрессии как $a_1$, а разность как $d$. Формула n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Выразим члены прогрессии, данные в условии, через $a_1$ и $d$:
$a_3 = a_1 + 2d$
$a_5 = a_1 + 4d$
$a_7 = a_1 + 6d$
$a_{10} = a_1 + 9d$

Подставим эти выражения в данные уравнения:
$a_3 + a_5 = (a_1 + 2d) + (a_1 + 4d) = 2a_1 + 6d = -2$
$a_7 + a_{10} = (a_1 + 6d) + (a_1 + 9d) = 2a_1 + 15d = 4$

Получили систему из двух линейных уравнений:
$\begin{cases} 2a_1 + 6d = -2 \\ 2a_1 + 15d = 4 \end{cases}$

Упростим первое уравнение, разделив его на 2: $a_1 + 3d = -1$. Отсюда $a_1 = -1 - 3d$.

Подставим выражение для $a_1$ во второе уравнение системы:
$2(-1 - 3d) + 15d = 4$
$-2 - 6d + 15d = 4$
$9d = 6$
$d = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

Теперь найдем $a_1$:
$a_1 = -1 - 3d = -1 - 3 \cdot (\frac{2}{3}) = -1 - 2 = -3$

Таким образом, первый член прогрессии равен -3, а разность равна 2/3.

Ответ: $a_1 = -3$, $d = \frac{2}{3}$.

2)

Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Выразим члены прогрессии из условия через $a_1$ и $d$:
$a_2 = a_1 + d$
$a_3 = a_1 + 2d$
$a_6 = a_1 + 5d$

Подставим эти выражения в данные уравнения и получим систему:
$\begin{cases} (a_1 + d) + (a_1 + 5d) = 24 \\ (a_1 + d)(a_1 + 2d) = 54 \end{cases}$

Упростим первое уравнение:
$2a_1 + 6d = 24$
$a_1 + 3d = 12$
Отсюда выразим $a_1$: $a_1 = 12 - 3d$.

Подставим это выражение для $a_1$ во второе уравнение системы:
$((12 - 3d) + d)((12 - 3d) + 2d) = 54$
$(12 - 2d)(12 - d) = 54$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение относительно $d$:
$144 - 12d - 24d + 2d^2 = 54$
$2d^2 - 36d + 144 - 54 = 0$
$2d^2 - 36d + 90 = 0$
Разделим все уравнение на 2:
$d^2 - 18d + 45 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна 18, а их произведение равно 45. Подбором находим корни: $d_1 = 3$ и $d_2 = 15$.
Теперь для каждого значения $d$ найдем соответствующее значение $a_1$.

Случай 1: $d = 3$
Найдем $a_1$:
$a_1 = 12 - 3d = 12 - 3 \cdot 3 = 12 - 9 = 3$
Первое решение: $a_1 = 3, d = 3$.

Случай 2: $d = 15$
Найдем $a_1$:
$a_1 = 12 - 3d = 12 - 3 \cdot 15 = 12 - 45 = -33$
Второе решение: $a_1 = -33, d = 15$.

Оба набора значений являются решениями задачи.

Ответ: $a_1 = 3$, $d = 3$ или $a_1 = -33$, $d = 15$.