Номер 191, страница 104 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

191. Найдите формулу $n$-го члена арифметической прогрессии:

1) $-4, -6, -8, -10, \ldots$;

2) $4, 4\frac{1}{3}, 4\frac{2}{3}, 5, \ldots$;

3) $2a^2, 5a^2, 8a^2, 11a^2, \ldots$;

4) $a-1, a-2, a-3, a-4, \ldots$

Общая формула для n-го члена арифметической прогрессии $(a_n)$ имеет вид:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

где $a_1$ — первый член прогрессии, $d$ — разность прогрессии, $n$ — номер члена прогрессии.

1) -4, -6, -8, -10, ...

Найдем первый член и разность данной арифметической прогрессии.

Первый член прогрессии: $a_1 = -4$.

Разность прогрессии: $d = a_2 - a_1 = -6 - (-4) = -6 + 4 = -2$.

Подставим найденные значения в общую формулу:

$a_n = -4 + (n-1)(-2)$

Упростим выражение:

$a_n = -4 - 2n + 2$

$a_n = -2n - 2$

Ответ: $a_n = -2n - 2$

2) 4, $4\frac{1}{3}$, $4\frac{2}{3}$, 5, ...

Найдем первый член и разность данной арифметической прогрессии.

Первый член прогрессии: $a_1 = 4$.

Разность прогрессии: $d = a_2 - a_1 = 4\frac{1}{3} - 4 = \frac{1}{3}$.

Подставим найденные значения в общую формулу:

$a_n = 4 + (n-1)\frac{1}{3}$

Упростим выражение:

$a_n = 4 + \frac{1}{3}n - \frac{1}{3}$

$a_n = \frac{1}{3}n + \frac{12}{3} - \frac{1}{3}$

$a_n = \frac{1}{3}n + \frac{11}{3}$

Ответ: $a_n = \frac{1}{3}n + \frac{11}{3}$

3) $2a^2$, $5a^2$, $8a^2$, $11a^2$, ...

Найдем первый член и разность данной арифметической прогрессии.

Первый член прогрессии: $a_1 = 2a^2$.

Разность прогрессии: $d = a_2 - a_1 = 5a^2 - 2a^2 = 3a^2$.

Подставим найденные значения в общую формулу:

$a_n = 2a^2 + (n-1)(3a^2)$

Упростим выражение:

$a_n = 2a^2 + 3a^2n - 3a^2$

$a_n = 3a^2n - a^2$

Можно вынести общий множитель $a^2$ за скобки:

$a_n = a^2(3n-1)$

Ответ: $a_n = 3a^2n - a^2$ или $a_n = a^2(3n-1)$

4) $a - 1$, $a - 2$, $a - 3$, $a - 4$, ...

Найдем первый член и разность данной арифметической прогрессии.

Первый член прогрессии: $a_1 = a - 1$.

Разность прогрессии: $d = a_2 - a_1 = (a-2) - (a-1) = a - 2 - a + 1 = -1$.

Подставим найденные значения в общую формулу:

$a_n = (a - 1) + (n-1)(-1)$

Упростим выражение:

$a_n = a - 1 - n + 1$

$a_n = a - n$

Ответ: $a_n = a - n$