Номер 185, страница 103 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

185. Подберите одну из возможных формул $n$-го члена последовательности, первыми членами которой являются числа:

1) $ \frac{1}{4}, \frac{1}{16}, \frac{1}{36}, \frac{1}{64}, \frac{1}{100}, \dots $

2) $ 2, \frac{4}{3}, \frac{6}{5}, \frac{8}{7}, \frac{10}{9}, \dots $

3) $ -1, \frac{1}{2}, -\frac{1}{3}, \frac{1}{4}, -\frac{1}{5}, \dots $

4) $ -2, 0, -\frac{2}{3}, 0, -\frac{2}{5}, 0, -\frac{2}{7}, \dots $

1) Обозначим члены последовательности как $a_n$. Даны первые члены: $a_1 = \frac{1}{4}, a_2 = \frac{1}{16}, a_3 = \frac{1}{36}, a_4 = \frac{1}{64}, a_5 = \frac{1}{100}, \dots$.
Все числители равны 1. Рассмотрим знаменатели: 4, 16, 36, 64, 100.
Можно заметить, что это квадраты чисел: $4=2^2$, $16=4^2$, $36=6^2$, $64=8^2$, $100=10^2$.
Основания степеней (2, 4, 6, 8, 10) образуют последовательность четных чисел. Формула для $n$-го четного числа — это $2n$.
Следовательно, знаменатель $n$-го члена последовательности равен $(2n)^2$.
Таким образом, формула для $n$-го члена последовательности: $a_n = \frac{1}{(2n)^2}$.
Проверим для $n=1$: $a_1 = \frac{1}{(2 \cdot 1)^2} = \frac{1}{4}$.
Проверим для $n=2$: $a_2 = \frac{1}{(2 \cdot 2)^2} = \frac{1}{16}$.
Формула верна.
Ответ: $a_n = \frac{1}{(2n)^2}$

2) Обозначим члены последовательности как $b_n$. Даны первые члены: $b_1 = 2, b_2 = \frac{4}{3}, b_3 = \frac{6}{5}, b_4 = \frac{8}{7}, b_5 = \frac{10}{9}, \dots$.
Представим первый член в виде дроби: $b_1 = \frac{2}{1}$.
Рассмотрим последовательность числителей: 2, 4, 6, 8, 10, ... Это последовательность четных чисел, формула $n$-го члена которой — $2n$.
Рассмотрим последовательность знаменателей: 1, 3, 5, 7, 9, ... Это последовательность нечетных чисел, формула $n$-го члена которой — $2n-1$.
Сопоставив числители и знаменатели, получаем формулу $n$-го члена исходной последовательности: $b_n = \frac{2n}{2n-1}$.
Проверим для $n=1$: $b_1 = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 1 - 1} = \frac{2}{1} = 2$.
Проверим для $n=2$: $b_2 = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 2 - 1} = \frac{4}{3}$.
Формула верна.
Ответ: $b_n = \frac{2n}{2n-1}$

3) Обозначим члены последовательности как $c_n$. Даны первые члены: $c_1 = -1, c_2 = \frac{1}{2}, c_3 = -\frac{1}{3}, c_4 = \frac{1}{4}, c_5 = -\frac{1}{5}, \dots$.
Эта последовательность является знакочередующейся. Знак члена зависит от его номера $n$. Если $n$ нечетное, член отрицательный, если $n$ четное — положительный. Такое чередование знаков можно выразить с помощью множителя $(-1)^n$.
При $n=1$, $(-1)^1 = -1$.
При $n=2$, $(-1)^2 = 1$.
При $n=3$, $(-1)^3 = -1$.
Знаки совпадают.
Теперь рассмотрим абсолютные величины членов последовательности: $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \dots$.
Очевидно, что $n$-й член этой последовательности равен $\frac{1}{n}$.
Объединяя знак и абсолютную величину, получаем формулу: $c_n = (-1)^n \cdot \frac{1}{n} = \frac{(-1)^n}{n}$.
Проверим для $n=1$: $c_1 = \frac{(-1)^1}{1} = -1$.
Проверим для $n=2$: $c_2 = \frac{(-1)^2}{2} = \frac{1}{2}$.
Формула верна.
Ответ: $c_n = \frac{(-1)^n}{n}$

4) Обозначим члены последовательности как $d_n$. Даны первые члены: $d_1 = -2, d_2 = 0, d_3 = -\frac{2}{3}, d_4 = 0, d_5 = -\frac{2}{5}, d_6 = 0, d_7 = -\frac{2}{7}, \dots$.
Видно, что все члены с четными номерами равны нулю: $d_{2k}=0$.
Рассмотрим члены с нечетными номерами:
$d_1 = -2 = -\frac{2}{1}$
$d_3 = -\frac{2}{3}$
$d_5 = -\frac{2}{5}$
$d_7 = -\frac{2}{7}$
Для нечетного $n$ формула члена, по-видимому, $d_n = -\frac{2}{n}$.
Нужно найти единую формулу для всех $n$. Можно использовать множитель, который равен 0 для четных $n$ и не равен 0 для нечетных $n$. Таким свойством обладает выражение $(1-(-1)^n)$.
Если $n$ четное, $1 - (-1)^n = 1 - 1 = 0$.
Если $n$ нечетное, $1 - (-1)^n = 1 - (-1) = 2$.
Мы хотим, чтобы для нечетных $n$ результат был $-\frac{2}{n}$. Сейчас мы получаем 2. Чтобы из 2 получить $-\frac{2}{n}$, нужно умножить на $-\frac{1}{n}$.
Предположим формулу: $d_n = -\frac{1}{n}(1 - (-1)^n) = \frac{(-1)^n - 1}{n}$.
Проверим эту формулу:
Если $n$ четное: $d_n = \frac{(-1)^n-1}{n} = \frac{1-1}{n} = 0$. Верно.
Если $n$ нечетное: $d_n = \frac{(-1)^n-1}{n} = \frac{-1-1}{n} = -\frac{2}{n}$. Верно.
Ответ: $d_n = \frac{(-1)^n - 1}{n}$