Номер 182, страница 103 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

182. Найдите четыре первых члена последовательности $(a_n)$, если:

1) $a_1 = 5, a_{n+1} = a_n - 2;$

2) $a_1 = \frac{1}{4}, a_{n+1} = 4a_n;$

3) $a_1 = 0,5, a_2 = 5, a_{n+2} = a_{n+1} - 4a_n;$

4) $a_1 = 2, a_2 = 1, a_{n+2} = 3a_n + a_{n+1}^2$

1) Дана последовательность, в которой первый член $a_1 = 5$ и каждый последующий член определяется рекуррентной формулой $a_{n+1} = a_n - 2$.

Для нахождения первых четырех членов последовательности выполним следующие вычисления:

Первый член задан: $a_1 = 5$.

Для нахождения второго члена ($a_2$), подставим $n=1$ в формулу:

$a_2 = a_1 - 2 = 5 - 2 = 3$.

Для нахождения третьего члена ($a_3$), подставим $n=2$:

$a_3 = a_2 - 2 = 3 - 2 = 1$.

Для нахождения четвертого члена ($a_4$), подставим $n=3$:

$a_4 = a_3 - 2 = 1 - 2 = -1$.

Первые четыре члена последовательности: 5, 3, 1, -1.

Ответ: 5; 3; 1; -1.

2) Дана последовательность, в которой первый член $a_1 = \frac{1}{4}$ и каждый последующий член определяется рекуррентной формулой $a_{n+1} = 4a_n$.

Для нахождения первых четырех членов последовательности выполним следующие вычисления:

Первый член задан: $a_1 = \frac{1}{4}$.

Для нахождения второго члена ($a_2$), подставим $n=1$ в формулу:

$a_2 = 4a_1 = 4 \cdot \frac{1}{4} = 1$.

Для нахождения третьего члена ($a_3$), подставим $n=2$:

$a_3 = 4a_2 = 4 \cdot 1 = 4$.

Для нахождения четвертого члена ($a_4$), подставим $n=3$:

$a_4 = 4a_3 = 4 \cdot 4 = 16$.

Первые четыре члена последовательности: $\frac{1}{4}$, 1, 4, 16.

Ответ: $\frac{1}{4}$; 1; 4; 16.

3) Дана последовательность, в которой заданы первые два члена $a_1 = 0,5$ и $a_2 = 5$, а каждый последующий член определяется рекуррентной формулой $a_{n+2} = a_{n+1} - 4a_n$.

Для нахождения первых четырех членов последовательности нам нужно найти $a_3$ и $a_4$:

Первые два члена заданы: $a_1 = 0,5$ и $a_2 = 5$.

Для нахождения третьего члена ($a_3$), подставим $n=1$ в формулу:

$a_3 = a_{1+2} = a_{1+1} - 4a_1 = a_2 - 4a_1 = 5 - 4 \cdot 0,5 = 5 - 2 = 3$.

Для нахождения четвертого члена ($a_4$), подставим $n=2$ в формулу:

$a_4 = a_{2+2} = a_{2+1} - 4a_2 = a_3 - 4a_2 = 3 - 4 \cdot 5 = 3 - 20 = -17$.

Первые четыре члена последовательности: 0,5; 5; 3; -17.

Ответ: 0,5; 5; 3; -17.

4) Дана последовательность, в которой заданы первые два члена $a_1 = 2$ и $a_2 = 1$, а каждый последующий член определяется рекуррентной формулой $a_{n+2} = 3a_n + a_{n+1}^2$.

Для нахождения первых четырех членов последовательности нам нужно найти $a_3$ и $a_4$:

Первые два члена заданы: $a_1 = 2$ и $a_2 = 1$.

Для нахождения третьего члена ($a_3$), подставим $n=1$ в формулу:

$a_3 = a_{1+2} = 3a_1 + a_{1+1}^2 = 3a_1 + a_2^2 = 3 \cdot 2 + 1^2 = 6 + 1 = 7$.

Для нахождения четвертого члена ($a_4$), подставим $n=2$ в формулу:

$a_4 = a_{2+2} = 3a_2 + a_{2+1}^2 = 3a_2 + a_3^2 = 3 \cdot 1 + 7^2 = 3 + 49 = 52$.

Первые четыре члена последовательности: 2; 1; 7; 52.

Ответ: 2; 1; 7; 52.