Страница 103 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

182. Найдите четыре первых члена последовательности $(a_n)$, если:

1) $a_1 = 5, a_{n+1} = a_n - 2;$

2) $a_1 = \frac{1}{4}, a_{n+1} = 4a_n;$

3) $a_1 = 0,5, a_2 = 5, a_{n+2} = a_{n+1} - 4a_n;$

4) $a_1 = 2, a_2 = 1, a_{n+2} = 3a_n + a_{n+1}^2$

1) Дана последовательность, в которой первый член $a_1 = 5$ и каждый последующий член определяется рекуррентной формулой $a_{n+1} = a_n - 2$.

Для нахождения первых четырех членов последовательности выполним следующие вычисления:

Первый член задан: $a_1 = 5$.

Для нахождения второго члена ($a_2$), подставим $n=1$ в формулу:

$a_2 = a_1 - 2 = 5 - 2 = 3$.

Для нахождения третьего члена ($a_3$), подставим $n=2$:

$a_3 = a_2 - 2 = 3 - 2 = 1$.

Для нахождения четвертого члена ($a_4$), подставим $n=3$:

$a_4 = a_3 - 2 = 1 - 2 = -1$.

Первые четыре члена последовательности: 5, 3, 1, -1.

Ответ: 5; 3; 1; -1.

2) Дана последовательность, в которой первый член $a_1 = \frac{1}{4}$ и каждый последующий член определяется рекуррентной формулой $a_{n+1} = 4a_n$.

Для нахождения первых четырех членов последовательности выполним следующие вычисления:

Первый член задан: $a_1 = \frac{1}{4}$.

Для нахождения второго члена ($a_2$), подставим $n=1$ в формулу:

$a_2 = 4a_1 = 4 \cdot \frac{1}{4} = 1$.

Для нахождения третьего члена ($a_3$), подставим $n=2$:

$a_3 = 4a_2 = 4 \cdot 1 = 4$.

Для нахождения четвертого члена ($a_4$), подставим $n=3$:

$a_4 = 4a_3 = 4 \cdot 4 = 16$.

Первые четыре члена последовательности: $\frac{1}{4}$, 1, 4, 16.

Ответ: $\frac{1}{4}$; 1; 4; 16.

3) Дана последовательность, в которой заданы первые два члена $a_1 = 0,5$ и $a_2 = 5$, а каждый последующий член определяется рекуррентной формулой $a_{n+2} = a_{n+1} - 4a_n$.

Для нахождения первых четырех членов последовательности нам нужно найти $a_3$ и $a_4$:

Первые два члена заданы: $a_1 = 0,5$ и $a_2 = 5$.

Для нахождения третьего члена ($a_3$), подставим $n=1$ в формулу:

$a_3 = a_{1+2} = a_{1+1} - 4a_1 = a_2 - 4a_1 = 5 - 4 \cdot 0,5 = 5 - 2 = 3$.

Для нахождения четвертого члена ($a_4$), подставим $n=2$ в формулу:

$a_4 = a_{2+2} = a_{2+1} - 4a_2 = a_3 - 4a_2 = 3 - 4 \cdot 5 = 3 - 20 = -17$.

Первые четыре члена последовательности: 0,5; 5; 3; -17.

Ответ: 0,5; 5; 3; -17.

4) Дана последовательность, в которой заданы первые два члена $a_1 = 2$ и $a_2 = 1$, а каждый последующий член определяется рекуррентной формулой $a_{n+2} = 3a_n + a_{n+1}^2$.

Для нахождения первых четырех членов последовательности нам нужно найти $a_3$ и $a_4$:

Первые два члена заданы: $a_1 = 2$ и $a_2 = 1$.

Для нахождения третьего члена ($a_3$), подставим $n=1$ в формулу:

$a_3 = a_{1+2} = 3a_1 + a_{1+1}^2 = 3a_1 + a_2^2 = 3 \cdot 2 + 1^2 = 6 + 1 = 7$.

Для нахождения четвертого члена ($a_4$), подставим $n=2$ в формулу:

$a_4 = a_{2+2} = 3a_2 + a_{2+1}^2 = 3a_2 + a_3^2 = 3 \cdot 1 + 7^2 = 3 + 49 = 52$.

Первые четыре члена последовательности: 2; 1; 7; 52.

Ответ: 2; 1; 7; 52.

183. Последовательность ($y_n$) задана формулой $n$-го члена

$y_n = 7n+1$. Является ли членом этой последовательности число:

1) 36;

2) 41?

В случае утвердительного ответа укажите номер этого члена.

Чтобы определить, является ли число членом последовательности, заданной формулой $y_n = 7n + 1$, нужно подставить это число вместо $y_n$ и решить получившееся уравнение относительно $n$. Если значение $n$ окажется натуральным числом (1, 2, 3, ...), то число является членом последовательности, а $n$ — его номером.

1) 36;
Проверим, является ли число 36 членом данной последовательности.
$y_n = 36$
$7n + 1 = 36$
$7n = 36 - 1$
$7n = 35$
$n = \frac{35}{7}$
$n = 5$
Поскольку мы получили натуральное число $n=5$, число 36 является членом этой последовательности.
Ответ: Да, является. Номер этого члена равен 5.

2) 41?
Проверим, является ли число 41 членом данной последовательности.
$y_n = 41$
$7n + 1 = 41$
$7n = 41 - 1$
$7n = 40$
$n = \frac{40}{7}$
Поскольку $n = \frac{40}{7}$ не является натуральным числом, число 41 не является членом этой последовательности.
Ответ: Нет, не является.

184. Найдите количество положительных членов последовательности $(z_n)$, заданной формулой $n$-го члена $z_n = 34 - 4n$.

Чтобы найти количество положительных членов последовательности ($z_n$), заданной формулой $z_n = 34 - 4n$, необходимо найти все натуральные значения $n$, для которых член последовательности $z_n$ будет строго больше нуля.

Для этого решим неравенство $z_n > 0$:

$34 - 4n > 0$

Перенесем слагаемое $4n$ в правую часть неравенства:

$34 > 4n$

Теперь разделим обе части неравенства на 4:

$\frac{34}{4} > n$

$8.5 > n$

Это можно записать как $n < 8.5$.

Поскольку $n$ — это номер члена последовательности, оно должно быть натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$). Следовательно, нам нужно найти количество натуральных чисел, которые удовлетворяют условию $n < 8.5$.

Такими числами являются 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

Всего таких чисел 8. Значит, у последовательности 8 положительных членов.

Ответ: 8

185. Подберите одну из возможных формул $n$-го члена последовательности, первыми членами которой являются числа:

1) $ \frac{1}{4}, \frac{1}{16}, \frac{1}{36}, \frac{1}{64}, \frac{1}{100}, \dots $

2) $ 2, \frac{4}{3}, \frac{6}{5}, \frac{8}{7}, \frac{10}{9}, \dots $

3) $ -1, \frac{1}{2}, -\frac{1}{3}, \frac{1}{4}, -\frac{1}{5}, \dots $

4) $ -2, 0, -\frac{2}{3}, 0, -\frac{2}{5}, 0, -\frac{2}{7}, \dots $

1) Обозначим члены последовательности как $a_n$. Даны первые члены: $a_1 = \frac{1}{4}, a_2 = \frac{1}{16}, a_3 = \frac{1}{36}, a_4 = \frac{1}{64}, a_5 = \frac{1}{100}, \dots$.
Все числители равны 1. Рассмотрим знаменатели: 4, 16, 36, 64, 100.
Можно заметить, что это квадраты чисел: $4=2^2$, $16=4^2$, $36=6^2$, $64=8^2$, $100=10^2$.
Основания степеней (2, 4, 6, 8, 10) образуют последовательность четных чисел. Формула для $n$-го четного числа — это $2n$.
Следовательно, знаменатель $n$-го члена последовательности равен $(2n)^2$.
Таким образом, формула для $n$-го члена последовательности: $a_n = \frac{1}{(2n)^2}$.
Проверим для $n=1$: $a_1 = \frac{1}{(2 \cdot 1)^2} = \frac{1}{4}$.
Проверим для $n=2$: $a_2 = \frac{1}{(2 \cdot 2)^2} = \frac{1}{16}$.
Формула верна.
Ответ: $a_n = \frac{1}{(2n)^2}$

2) Обозначим члены последовательности как $b_n$. Даны первые члены: $b_1 = 2, b_2 = \frac{4}{3}, b_3 = \frac{6}{5}, b_4 = \frac{8}{7}, b_5 = \frac{10}{9}, \dots$.
Представим первый член в виде дроби: $b_1 = \frac{2}{1}$.
Рассмотрим последовательность числителей: 2, 4, 6, 8, 10, ... Это последовательность четных чисел, формула $n$-го члена которой — $2n$.
Рассмотрим последовательность знаменателей: 1, 3, 5, 7, 9, ... Это последовательность нечетных чисел, формула $n$-го члена которой — $2n-1$.
Сопоставив числители и знаменатели, получаем формулу $n$-го члена исходной последовательности: $b_n = \frac{2n}{2n-1}$.
Проверим для $n=1$: $b_1 = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 1 - 1} = \frac{2}{1} = 2$.
Проверим для $n=2$: $b_2 = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 2 - 1} = \frac{4}{3}$.
Формула верна.
Ответ: $b_n = \frac{2n}{2n-1}$

3) Обозначим члены последовательности как $c_n$. Даны первые члены: $c_1 = -1, c_2 = \frac{1}{2}, c_3 = -\frac{1}{3}, c_4 = \frac{1}{4}, c_5 = -\frac{1}{5}, \dots$.
Эта последовательность является знакочередующейся. Знак члена зависит от его номера $n$. Если $n$ нечетное, член отрицательный, если $n$ четное — положительный. Такое чередование знаков можно выразить с помощью множителя $(-1)^n$.
При $n=1$, $(-1)^1 = -1$.
При $n=2$, $(-1)^2 = 1$.
При $n=3$, $(-1)^3 = -1$.
Знаки совпадают.
Теперь рассмотрим абсолютные величины членов последовательности: $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \dots$.
Очевидно, что $n$-й член этой последовательности равен $\frac{1}{n}$.
Объединяя знак и абсолютную величину, получаем формулу: $c_n = (-1)^n \cdot \frac{1}{n} = \frac{(-1)^n}{n}$.
Проверим для $n=1$: $c_1 = \frac{(-1)^1}{1} = -1$.
Проверим для $n=2$: $c_2 = \frac{(-1)^2}{2} = \frac{1}{2}$.
Формула верна.
Ответ: $c_n = \frac{(-1)^n}{n}$

4) Обозначим члены последовательности как $d_n$. Даны первые члены: $d_1 = -2, d_2 = 0, d_3 = -\frac{2}{3}, d_4 = 0, d_5 = -\frac{2}{5}, d_6 = 0, d_7 = -\frac{2}{7}, \dots$.
Видно, что все члены с четными номерами равны нулю: $d_{2k}=0$.
Рассмотрим члены с нечетными номерами:
$d_1 = -2 = -\frac{2}{1}$
$d_3 = -\frac{2}{3}$
$d_5 = -\frac{2}{5}$
$d_7 = -\frac{2}{7}$
Для нечетного $n$ формула члена, по-видимому, $d_n = -\frac{2}{n}$.
Нужно найти единую формулу для всех $n$. Можно использовать множитель, который равен 0 для четных $n$ и не равен 0 для нечетных $n$. Таким свойством обладает выражение $(1-(-1)^n)$.
Если $n$ четное, $1 - (-1)^n = 1 - 1 = 0$.
Если $n$ нечетное, $1 - (-1)^n = 1 - (-1) = 2$.
Мы хотим, чтобы для нечетных $n$ результат был $-\frac{2}{n}$. Сейчас мы получаем 2. Чтобы из 2 получить $-\frac{2}{n}$, нужно умножить на $-\frac{1}{n}$.
Предположим формулу: $d_n = -\frac{1}{n}(1 - (-1)^n) = \frac{(-1)^n - 1}{n}$.
Проверим эту формулу:
Если $n$ четное: $d_n = \frac{(-1)^n-1}{n} = \frac{1-1}{n} = 0$. Верно.
Если $n$ нечетное: $d_n = \frac{(-1)^n-1}{n} = \frac{-1-1}{n} = -\frac{2}{n}$. Верно.
Ответ: $d_n = \frac{(-1)^n - 1}{n}$

186. Найдите четыре первых члена арифметической прогрессии ($a_n$), первый член которой $a_1 = 1,4$, а разность $d = -0,2$.

Арифметическая прогрессия $(a_n)$ — это числовая последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом $d$, которое называют разностью прогрессии. Формула для нахождения следующего члена: $a_{n+1} = a_n + d$.

По условию задачи даны первый член прогрессии $a_1 = 1,4$ и её разность $d = -0,2$. Необходимо найти первые четыре члена: $a_1, a_2, a_3, a_4$.

Первый член уже известен: $a_1 = 1,4$.

Вычислим второй член прогрессии, прибавив к первому члену разность $d$:
$a_2 = a_1 + d = 1,4 + (-0,2) = 1,4 - 0,2 = 1,2$.

Вычислим третий член прогрессии, прибавив ко второму члену разность $d$:
$a_3 = a_2 + d = 1,2 + (-0,2) = 1,2 - 0,2 = 1,0$.

Вычислим четвертый член прогрессии, прибавив к третьему члену разность $d$:
$a_4 = a_3 + d = 1,0 + (-0,2) = 1,0 - 0,2 = 0,8$.

Таким образом, первые четыре члена данной арифметической прогрессии: 1,4; 1,2; 1,0; 0,8.

Ответ: 1,4; 1,2; 1,0; 0,8.

187. Первый член арифметической прогрессии $a_1 = 3$, а разность $d = 0,5$. Найдите:

1) $a_3$;

2) $a_{11}$;

3) $a_{24}$.

Для нахождения n-го члена арифметической прогрессии используется формула:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

где $a_1$ — первый член прогрессии, $d$ — разность прогрессии, а $n$ — номер искомого члена.

По условию задачи, первый член $a_1 = 3$, а разность $d = 0,5$.

1) a₃;

Чтобы найти третий член прогрессии ($a_3$), подставим в формулу $n=3$:

$a_3 = a_1 + (3-1)d = 3 + 2 \cdot 0,5 = 3 + 1 = 4$

Ответ: 4

2) a₁₁;

Чтобы найти одиннадцатый член прогрессии ($a_{11}$), подставим в формулу $n=11$:

$a_{11} = a_1 + (11-1)d = 3 + 10 \cdot 0,5 = 3 + 5 = 8$

Ответ: 8

3) a₂₄.

Чтобы найти двадцать четвертый член прогрессии ($a_{24}$), подставим в формулу $n=24$:

$a_{24} = a_1 + (24-1)d = 3 + 23 \cdot 0,5 = 3 + 11,5 = 14,5$

Ответ: 14,5