Страница 104 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

188. Найдите разность и сто первый член арифметической прогрессии 2,7; 3,1; 3,5; ... .

Дана арифметическая прогрессия: 2,7; 3,1; 3,5; ...

Первый член прогрессии $a_1 = 2,7$.
Второй член прогрессии $a_2 = 3,1$.
Третий член прогрессии $a_3 = 3,5$.

Разность

Разность арифметической прогрессии $d$ — это постоянное число, которое прибавляется к каждому члену прогрессии, чтобы получить следующий. Чтобы найти разность, нужно из любого члена прогрессии, начиная со второго, вычесть предыдущий.
$d = a_2 - a_1$
$d = 3,1 - 2,7 = 0,4$
Проверим, используя третий и второй члены:
$d = a_3 - a_2 = 3,5 - 3,1 = 0,4$
Разность прогрессии постоянна.
Ответ: разность арифметической прогрессии равна 0,4.

Сто первый член

Формула для нахождения n-го члена арифметической прогрессии имеет вид:
$a_n = a_1 + (n-1)d$
Нам нужно найти сто первый член, то есть $n=101$. Мы уже определили, что первый член $a_1 = 2,7$ и разность $d = 0,4$.
Подставим эти значения в формулу:
$a_{101} = 2,7 + (101 - 1) \times 0,4$
$a_{101} = 2,7 + 100 \times 0,4$
$a_{101} = 2,7 + 40$
$a_{101} = 42,7$
Ответ: сто первый член арифметической прогрессии равен 42,7.

189. Найдите разность арифметической прогрессии $(b_n)$, если:

1) $b_1 = 7, b_{10} = -11$;

2) $b_5 = 10, b_{12} = 31$.

1) Для нахождения разности арифметической прогрессии $d$ воспользуемся формулой n-го члена: $b_n = b_1 + (n-1)d$.
По условию даны первый член $b_1 = 7$ и десятый член $b_{10} = -11$. Подставим эти значения в формулу для $n=10$:
$b_{10} = b_1 + (10-1)d$
$-11 = 7 + 9d$
Теперь решим полученное уравнение относительно $d$:
$9d = -11 - 7$
$9d = -18$
$d = \frac{-18}{9}$
$d = -2$
Ответ: -2.

2) В этом случае нам даны пятый член $b_5 = 10$ и двенадцатый член $b_{12} = 31$. Воспользуемся общей формулой, связывающей любые два члена арифметической прогрессии: $b_m = b_k + (m-k)d$.
Подставим наши значения, где $m=12$ и $k=5$:
$b_{12} = b_5 + (12-5)d$
$31 = 10 + 7d$
Решим это уравнение:
$7d = 31 - 10$
$7d = 21$
$d = \frac{21}{7}$
$d = 3$
Ответ: 3.

190. Найдите первый член арифметической прогрессии $(c_n)$, разность которой равна $d$, если:

1) $c_{12}=17, d=2;$

2) $c_4=7, c_9=-8.$

1) Для нахождения первого члена арифметической прогрессии $c_1$ воспользуемся формулой n-го члена: $c_n = c_1 + (n-1)d$.

По условию даны $c_{12} = 17$ и разность $d = 2$. Подставим эти значения в формулу для n=12:

$c_{12} = c_1 + (12-1) \cdot d$

$17 = c_1 + 11 \cdot 2$

$17 = c_1 + 22$

Теперь выразим $c_1$ из полученного уравнения:

$c_1 = 17 - 22$

$c_1 = -5$

Ответ: -5

2) По условию даны два члена прогрессии: $c_4 = 7$ и $c_9 = -8$. В этом случае разность $d$ неизвестна. Сначала найдем разность $d$, а затем первый член $c_1$.

Запишем формулу n-го члена для каждого из известных членов:

$c_4 = c_1 + (4-1)d \implies 7 = c_1 + 3d$

$c_9 = c_1 + (9-1)d \implies -8 = c_1 + 8d$

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными, $c_1$ и $d$:

$\begin{cases} c_1 + 3d = 7 \\ c_1 + 8d = -8 \end{cases}$

Для решения системы вычтем первое уравнение из второго:

$(c_1 + 8d) - (c_1 + 3d) = -8 - 7$

$5d = -15$

$d = \frac{-15}{5}$

$d = -3$

Теперь, зная разность $d = -3$, подставим её значение в первое уравнение системы ($c_1 + 3d = 7$) для нахождения $c_1$:

$c_1 + 3 \cdot (-3) = 7$

$c_1 - 9 = 7$

$c_1 = 7 + 9$

$c_1 = 16$

Ответ: 16

191. Найдите формулу $n$-го члена арифметической прогрессии:

1) $-4, -6, -8, -10, \ldots$;

2) $4, 4\frac{1}{3}, 4\frac{2}{3}, 5, \ldots$;

3) $2a^2, 5a^2, 8a^2, 11a^2, \ldots$;

4) $a-1, a-2, a-3, a-4, \ldots$

Общая формула для n-го члена арифметической прогрессии $(a_n)$ имеет вид:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

где $a_1$ — первый член прогрессии, $d$ — разность прогрессии, $n$ — номер члена прогрессии.

1) -4, -6, -8, -10, ...

Найдем первый член и разность данной арифметической прогрессии.

Первый член прогрессии: $a_1 = -4$.

Разность прогрессии: $d = a_2 - a_1 = -6 - (-4) = -6 + 4 = -2$.

Подставим найденные значения в общую формулу:

$a_n = -4 + (n-1)(-2)$

Упростим выражение:

$a_n = -4 - 2n + 2$

$a_n = -2n - 2$

Ответ: $a_n = -2n - 2$

2) 4, $4\frac{1}{3}$, $4\frac{2}{3}$, 5, ...

Найдем первый член и разность данной арифметической прогрессии.

Первый член прогрессии: $a_1 = 4$.

Разность прогрессии: $d = a_2 - a_1 = 4\frac{1}{3} - 4 = \frac{1}{3}$.

Подставим найденные значения в общую формулу:

$a_n = 4 + (n-1)\frac{1}{3}$

Упростим выражение:

$a_n = 4 + \frac{1}{3}n - \frac{1}{3}$

$a_n = \frac{1}{3}n + \frac{12}{3} - \frac{1}{3}$

$a_n = \frac{1}{3}n + \frac{11}{3}$

Ответ: $a_n = \frac{1}{3}n + \frac{11}{3}$

3) $2a^2$, $5a^2$, $8a^2$, $11a^2$, ...

Найдем первый член и разность данной арифметической прогрессии.

Первый член прогрессии: $a_1 = 2a^2$.

Разность прогрессии: $d = a_2 - a_1 = 5a^2 - 2a^2 = 3a^2$.

Подставим найденные значения в общую формулу:

$a_n = 2a^2 + (n-1)(3a^2)$

Упростим выражение:

$a_n = 2a^2 + 3a^2n - 3a^2$

$a_n = 3a^2n - a^2$

Можно вынести общий множитель $a^2$ за скобки:

$a_n = a^2(3n-1)$

Ответ: $a_n = 3a^2n - a^2$ или $a_n = a^2(3n-1)$

4) $a - 1$, $a - 2$, $a - 3$, $a - 4$, ...

Найдем первый член и разность данной арифметической прогрессии.

Первый член прогрессии: $a_1 = a - 1$.

Разность прогрессии: $d = a_2 - a_1 = (a-2) - (a-1) = a - 2 - a + 1 = -1$.

Подставим найденные значения в общую формулу:

$a_n = (a - 1) + (n-1)(-1)$

Упростим выражение:

$a_n = a - 1 - n + 1$

$a_n = a - n$

Ответ: $a_n = a - n$

192. Найдите номер члена арифметической прогрессии $(a_n)$, равного 30,6, если $a_1 = 12,2$, а разность прогрессии $d = 0,4$.

Для нахождения номера члена арифметической прогрессии используется формула n-го члена:
$a_n = a_1 + (n-1)d$
где $a_n$ — n-й член прогрессии, $a_1$ — первый член, $d$ — разность прогрессии, а $n$ — искомый номер члена.

Согласно условию задачи, мы имеем следующие данные:
$a_n = 30,6$
$a_1 = 12,2$
$d = 0,4$

Подставим эти значения в формулу, чтобы найти $n$:
$30,6 = 12,2 + (n-1) \cdot 0,4$

Теперь решим полученное уравнение. Первым шагом вычтем $12,2$ из обеих частей уравнения:
$30,6 - 12,2 = (n-1) \cdot 0,4$
$18,4 = (n-1) \cdot 0,4$

Далее, разделим обе части уравнения на $0,4$:
$n-1 = \frac{18,4}{0,4}$
Для удобства вычисления можно умножить числитель и знаменатель на 10:
$n-1 = \frac{184}{4}$
$n-1 = 46$

Наконец, найдем $n$, прибавив 1 к обеим частям:
$n = 46 + 1$
$n = 47$

Таким образом, член арифметической прогрессии, равный 30,6, является 47-м по счету.

Ответ: 47

193. Является ли число 24,5 членом арифметической прогрессии $(b_n)$, если $b_1 = 10$, а разность прогрессии $d = 1,5$? В случае утвердительного ответа укажите номер этого члена.

Для того чтобы определить, является ли число 24,5 членом арифметической прогрессии $(b_n)$, необходимо проверить, существует ли натуральное число $n$ (номер члена), при котором $b_n = 24,5$.

Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид:

$b_n = b_1 + (n-1)d$

По условию задачи нам даны:

• первый член прогрессии $b_1 = 10$;
• разность прогрессии $d = 1,5$;
• предполагаемый n-й член прогрессии $b_n = 24,5$.

Подставим эти значения в формулу и решим уравнение относительно $n$:

$24,5 = 10 + (n-1) \cdot 1,5$

Вычтем 10 из обеих частей уравнения:

$24,5 - 10 = (n-1) \cdot 1,5$

$14,5 = (n-1) \cdot 1,5$

Теперь разделим обе части на 1,5, чтобы найти значение выражения $(n-1)$:

$n-1 = \frac{14,5}{1,5}$

Для удобства вычислений избавимся от десятичных дробей, умножив числитель и знаменатель на 10:

$n-1 = \frac{145}{15}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 5:

$n-1 = \frac{29}{3}$

Теперь найдем $n$, прибавив 1 к обеим частям:

$n = \frac{29}{3} + 1 = \frac{29}{3} + \frac{3}{3} = \frac{32}{3}$

Полученное значение $n = \frac{32}{3} = 10\frac{2}{3}$.

Номер члена арифметической прогрессии $n$ по определению должен быть натуральным числом (т.е. целым и положительным). Поскольку мы получили дробное значение для $n$, это означает, что число 24,5 не может быть членом данной арифметической прогрессии.

Ответ: Нет, число 24,5 не является членом данной арифметической прогрессии, так как его номер $n = 10\frac{2}{3}$ не является натуральным числом.

194. Дана арифметическая прогрессия $2; 1.8; 1.6; \dots$. Найдите номер первого отрицательного члена прогрессии.

Дана арифметическая прогрессия $(a_n)$ с первым членом $a_1 = 2$ и вторым членом $a_2 = 1.8$.

1. Найдём разность арифметической прогрессии

Разность прогрессии $d$ — это постоянная величина, на которую отличается каждый следующий член от предыдущего. Вычислим её, вычтя из второго члена первый:

$d = a_2 - a_1 = 1.8 - 2 = -0.2$

2. Составим неравенство для нахождения номера первого отрицательного члена

Мы ищем номер $n$, начиная с которого члены прогрессии становятся отрицательными. Общая формула для n-го члена арифметической прогрессии:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

Нам нужно найти наименьшее натуральное $n$, при котором $a_n < 0$. Подставим известные значения $a_1 = 2$ и $d = -0.2$ в неравенство:

$2 + (n-1)(-0.2) < 0$

3. Решим полученное неравенство

Раскроем скобки и решим неравенство относительно $n$:

$2 - 0.2(n-1) < 0$

$2 - 0.2n + 0.2 < 0$

$2.2 - 0.2n < 0$

Перенесём $0.2n$ в правую часть неравенства:

$2.2 < 0.2n$

Разделим обе части на $0.2$:

$n > \frac{2.2}{0.2}$

$n > 11$

Поскольку $n$ — это порядковый номер члена прогрессии, оно должно быть натуральным числом. Наименьшее натуральное число, которое больше 11, это 12.

Таким образом, 12-й член прогрессии будет первым отрицательным членом.

Ответ: 12.

195. Найдите количество положительных членов арифметической прогрессии $(a_n)$, если $a_1 = 30$, а разность прогрессии $d = -1.6$.

Условия задачи: дана арифметическая прогрессия $(a_n)$, у которой первый член $a_1 = 30$ и разность $d = -1,6$. Необходимо найти количество положительных членов этой прогрессии.

Член арифметической прогрессии считается положительным, если его значение больше нуля, то есть $a_n > 0$.

Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии:
$a_n = a_1 + (n-1)d$

Подставим в эту формулу известные значения $a_1 = 30$ и $d = -1,6$ и составим неравенство:
$30 + (n-1)(-1,6) > 0$

Теперь решим это неравенство относительно $n$:
$30 - 1,6(n-1) > 0$
$30 - 1,6n + 1,6 > 0$
$31,6 - 1,6n > 0$

Перенесем слагаемое с $n$ в правую часть неравенства:
$31,6 > 1,6n$

Выразим $n$, разделив обе части неравенства на $1,6$:
$n < \frac{31,6}{1,6}$
$n < \frac{316}{16}$
$n < 19,75$

Поскольку номер члена прогрессии $n$ может быть только натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$), то нам нужно найти все натуральные числа, которые меньше $19,75$. Это числа от 1 до 19 включительно.
Таким образом, в данной арифметической прогрессии 19 положительных членов (с 1-го по 19-й).

Ответ: 19.

196. Между числами -4 и 5 вставьте пять таких чисел, чтобы они вместе с данными числами образовали арифметическую прогрессию.

Пусть данная арифметическая прогрессия $(a_n)$, первый член которой $a_1 = -4$. Мы вставляем пять чисел между $-4$ и $5$. Таким образом, общее количество членов в прогрессии будет $2 + 5 = 7$. Следовательно, число $5$ является седьмым членом прогрессии, то есть $a_7 = 5$.

Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $d$ — разность прогрессии.

Подставим известные значения для нахождения разности $d$:

$a_7 = a_1 + (7-1)d$

$5 = -4 + 6d$

$6d = 5 - (-4)$

$6d = 9$

$d = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} = 1,5$

Теперь, зная разность прогрессии, найдем пять чисел, которые нужно вставить. Это будут члены прогрессии со второго по шестой:

$a_2 = a_1 + d = -4 + 1,5 = -2,5$

$a_3 = a_2 + d = -2,5 + 1,5 = -1$

$a_4 = a_3 + d = -1 + 1,5 = 0,5$

$a_5 = a_4 + d = 0,5 + 1,5 = 2$

$a_6 = a_5 + d = 2 + 1,5 = 3,5$

Проверим: $a_7 = a_6 + d = 3,5 + 1,5 = 5$, что совпадает с условием.

Таким образом, между числами $-4$ и $5$ нужно вставить числа: $-2,5$; $-1$; $0,5$; $2$; $3,5$.

Ответ: -2,5; -1; 0,5; 2; 3,5.

197. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии $(a_n)$, если:

1) $a_3 + a_5 = -2$ и $a_7 + a_{10} = 4;$

2) $a_2 + a_6 = 24$ и $a_2 \cdot a_3 = 54.$

1)

Обозначим первый член арифметической прогрессии как $a_1$, а разность как $d$. Формула n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Выразим члены прогрессии, данные в условии, через $a_1$ и $d$:
$a_3 = a_1 + 2d$
$a_5 = a_1 + 4d$
$a_7 = a_1 + 6d$
$a_{10} = a_1 + 9d$

Подставим эти выражения в данные уравнения:
$a_3 + a_5 = (a_1 + 2d) + (a_1 + 4d) = 2a_1 + 6d = -2$
$a_7 + a_{10} = (a_1 + 6d) + (a_1 + 9d) = 2a_1 + 15d = 4$

Получили систему из двух линейных уравнений:
$\begin{cases} 2a_1 + 6d = -2 \\ 2a_1 + 15d = 4 \end{cases}$

Упростим первое уравнение, разделив его на 2: $a_1 + 3d = -1$. Отсюда $a_1 = -1 - 3d$.

Подставим выражение для $a_1$ во второе уравнение системы:
$2(-1 - 3d) + 15d = 4$
$-2 - 6d + 15d = 4$
$9d = 6$
$d = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

Теперь найдем $a_1$:
$a_1 = -1 - 3d = -1 - 3 \cdot (\frac{2}{3}) = -1 - 2 = -3$

Таким образом, первый член прогрессии равен -3, а разность равна 2/3.

Ответ: $a_1 = -3$, $d = \frac{2}{3}$.

2)

Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Выразим члены прогрессии из условия через $a_1$ и $d$:
$a_2 = a_1 + d$
$a_3 = a_1 + 2d$
$a_6 = a_1 + 5d$

Подставим эти выражения в данные уравнения и получим систему:
$\begin{cases} (a_1 + d) + (a_1 + 5d) = 24 \\ (a_1 + d)(a_1 + 2d) = 54 \end{cases}$

Упростим первое уравнение:
$2a_1 + 6d = 24$
$a_1 + 3d = 12$
Отсюда выразим $a_1$: $a_1 = 12 - 3d$.

Подставим это выражение для $a_1$ во второе уравнение системы:
$((12 - 3d) + d)((12 - 3d) + 2d) = 54$
$(12 - 2d)(12 - d) = 54$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение относительно $d$:
$144 - 12d - 24d + 2d^2 = 54$
$2d^2 - 36d + 144 - 54 = 0$
$2d^2 - 36d + 90 = 0$
Разделим все уравнение на 2:
$d^2 - 18d + 45 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна 18, а их произведение равно 45. Подбором находим корни: $d_1 = 3$ и $d_2 = 15$.
Теперь для каждого значения $d$ найдем соответствующее значение $a_1$.

Случай 1: $d = 3$
Найдем $a_1$:
$a_1 = 12 - 3d = 12 - 3 \cdot 3 = 12 - 9 = 3$
Первое решение: $a_1 = 3, d = 3$.

Случай 2: $d = 15$
Найдем $a_1$:
$a_1 = 12 - 3d = 12 - 3 \cdot 15 = 12 - 45 = -33$
Второе решение: $a_1 = -33, d = 15$.

Оба набора значений являются решениями задачи.

Ответ: $a_1 = 3$, $d = 3$ или $a_1 = -33$, $d = 15$.