Страница 111 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

1. Функция задана формулой $f(x) = \frac{1}{2}x^2 + 3x$. Найдите:

1) $f(2)$ и $f(-1)$;

2) нули функции.

1) f(2) и f(-1);

Чтобы найти значения функции в заданных точках, нужно подставить значения аргумента $x$ в формулу функции $f(x) = \frac{1}{2}x^2 + 3x$.

Найдем значение функции при $x = 2$:

$f(2) = \frac{1}{2} \cdot (2)^2 + 3 \cdot 2 = \frac{1}{2} \cdot 4 + 6 = 2 + 6 = 8$.

Найдем значение функции при $x = -1$:

$f(-1) = \frac{1}{2} \cdot (-1)^2 + 3 \cdot (-1) = \frac{1}{2} \cdot 1 - 3 = 0,5 - 3 = -2,5$.

Ответ: $f(2)=8$, $f(-1)=-2,5$.

2) нули функции.

Нули функции – это значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю, то есть $f(x) = 0$.

Приравняем функцию к нулю и решим полученное уравнение:

$\frac{1}{2}x^2 + 3x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(\frac{1}{2}x + 3) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, имеем два случая:

1) $x_1 = 0$

2) $\frac{1}{2}x + 3 = 0$

$\frac{1}{2}x = -3$

$x_2 = -3 \cdot 2 = -6$

Таким образом, нулями функции являются $x=0$ и $x=-6$.

Ответ: $0; -6$.

2. Найдите область определения функции:

1) $f(x) = \frac{x^2 + 4}{x^2 - 10x + 24}$;

2) $f(x) = \sqrt{x+5} + \frac{6}{x^2 - 4}$.

1) Область определения функции $f(x) = \frac{x^2 + 4}{x^2 - 10x + 24}$ — это множество всех значений $x$, для которых функция имеет смысл. Данная функция представляет собой дробь, поэтому ее знаменатель не может быть равен нулю. Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль, и исключим их из области определения.
Приравняем знаменатель к нулю:
$x^2 - 10x + 24 = 0$
Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта или теоремы Виета.
По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = 10$
$x_1 \cdot x_2 = 24$
Подбором находим корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = 6$.
Следовательно, знаменатель равен нулю при $x = 4$ и $x = 6$. Эти значения необходимо исключить из области определения.
Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, кроме 4 и 6.
Ответ: $x \in (-\infty; 4) \cup (4; 6) \cup (6; +\infty)$.

2) Область определения функции $f(x) = \sqrt{x+5} + \frac{6}{x^2 - 4}$ находится из системы двух условий, которые должны выполняться одновременно:
1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным (больше или равно нулю).
$x + 5 \geq 0$
$x \geq -5$
2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю.
$x^2 - 4 \neq 0$
$x^2 \neq 4$
$x \neq \pm 2$
Итак, мы должны найти все значения $x$, которые удовлетворяют условию $x \geq -5$ и при этом не равны -2 и 2. На числовой прямой это будет луч, начинающийся в точке -5, из которого "выколоты" точки -2 и 2.
Запишем полученное множество в виде объединения интервалов.
Ответ: $x \in [-5; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.

3. Постройте график функции $f(x) = x^2 + 2x - 3$. Используя график, найдите:

1) область значений данной функции;

2) промежуток возрастания функции;

3) множество решений неравенства $f(x) > 0$.

Для построения графика функции $f(x) = x^2 + 2x - 3$ необходимо проанализировать её свойства. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола.

1. Направление ветвей. Коэффициент при $x^2$ равен $a=1$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Вершина параболы. Найдем координаты вершины $(x_0, y_0)$ по формулам:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$.
$y_0 = f(x_0) = f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$.
Вершина параболы находится в точке $(-1, -4)$. Это точка минимума функции.

3. Точки пересечения с осями координат.
- С осью OY (при $x=0$): $f(0) = 0^2 + 2 \cdot 0 - 3 = -3$. Точка пересечения: $(0, -3)$.
- С осью OX (при $f(x)=0$): $x^2 + 2x - 3 = 0$. Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$. Точки пересечения: $(1, 0)$ и $(-3, 0)$.

По найденным точкам (вершина $(-1, -4)$, пересечения с осями $(0, -3)$, $(1, 0)$, $(-3, 0)$) строим параболу.

Используя график, найдём требуемые значения:

1) область значений данной функции;
Так как ветви параболы направлены вверх, а её вершина находится в точке $(-1, -4)$, наименьшее значение функции равно $-4$. Функция принимает все значения, большие или равные $-4$.
Ответ: $E(f) = [-4; +\infty)$.

2) промежуток возрастания функции;
Функция возрастает на луче справа от вершины. Абсцисса вершины $x_0 = -1$. Следовательно, функция возрастает при $x \ge -1$.
Ответ: $[-1; +\infty)$.

3) множество решений неравенства $f(x) > 0$.
Неравенство $f(x) > 0$ означает, что график функции должен быть расположен выше оси OX. Это происходит на интервалах, которые лежат левее корня $x = -3$ и правее корня $x = 1$.
Ответ: $(-\infty; -3) \cup (1; +\infty)$.

4. Постройте график функции:

1) $f(x) = \sqrt{x-3}$;

2) $f(x) = \sqrt{x}-3$.

1) $f(x) = \sqrt{x-3}$

Для построения графика функции $f(x) = \sqrt{x-3}$ воспользуемся методом преобразования графиков. За основу возьмем график базовой функции $y = \sqrt{x}$.
График функции $y = \sqrt{x}$ — это ветвь параболы, которая начинается в точке (0, 0) и проходит через точки (1, 1), (4, 2), (9, 3) и т.д.

Функция $f(x) = \sqrt{x-3}$ получается из функции $y = \sqrt{x}$ путем замены аргумента $x$ на $x-3$. Такое преобразование, вида $y = f(x-a)$, соответствует параллельному переносу (сдвигу) графика исходной функции $y=f(x)$ на $a$ единиц вправо вдоль оси абсцисс (Ox). В нашем случае $a=3$, следовательно, график функции $y = \sqrt{x}$ нужно сдвинуть на 3 единицы вправо.

Найдем область определения функции. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:
$x - 3 \ge 0$
$x \ge 3$
Таким образом, область определения функции $D(f) = [3; +\infty)$.

Составим таблицу значений для построения графика, выбирая удобные значения $x$ из области определения:
- если $x = 3$, то $y = \sqrt{3-3} = \sqrt{0} = 0$. Получаем точку (3, 0). Это начальная точка графика.
- если $x = 4$, то $y = \sqrt{4-3} = \sqrt{1} = 1$. Получаем точку (4, 1).
- если $x = 7$, то $y = \sqrt{7-3} = \sqrt{4} = 2$. Получаем точку (7, 2).
- если $x = 12$, то $y = \sqrt{12-3} = \sqrt{9} = 3$. Получаем точку (12, 3).

Отмечаем эти точки на координатной плоскости и соединяем их плавной линией. Полученный график является ветвью параболы, смещенной на 3 единицы вправо от начала координат.

Ответ: График функции $f(x) = \sqrt{x-3}$ получается путем сдвига графика функции $y = \sqrt{x}$ на 3 единицы вправо вдоль оси Ox.

2) $f(x) = \sqrt{x} - 3$

Для построения графика функции $f(x) = \sqrt{x} - 3$ также воспользуемся преобразованием графика базовой функции $y = \sqrt{x}$.

Функция $f(x) = \sqrt{x} - 3$ получается из функции $y = \sqrt{x}$ путем вычитания числа 3 из значения функции. Такое преобразование, вида $y = f(x) - b$, соответствует параллельному переносу (сдвигу) графика исходной функции $y=f(x)$ на $b$ единиц вниз вдоль оси ординат (Oy). В нашем случае $b=3$, следовательно, график функции $y = \sqrt{x}$ нужно сдвинуть на 3 единицы вниз.

Найдем область определения функции. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:
$x \ge 0$
Таким образом, область определения функции $D(f) = [0; +\infty)$.

Составим таблицу значений для построения графика:
- если $x = 0$, то $y = \sqrt{0} - 3 = -3$. Получаем точку (0, -3). Это начальная точка графика.
- если $x = 1$, то $y = \sqrt{1} - 3 = 1 - 3 = -2$. Получаем точку (1, -2).
- если $x = 4$, то $y = \sqrt{4} - 3 = 2 - 3 = -1$. Получаем точку (4, -1).
- если $x = 9$, то $y = \sqrt{9} - 3 = 3 - 3 = 0$. Получаем точку (9, 0). Это точка пересечения графика с осью Ox.

Отмечаем эти точки на координатной плоскости и соединяем их плавной линией. Полученный график является ветвью параболы, смещенной на 3 единицы вниз от начала координат.

Ответ: График функции $f(x) = \sqrt{x} - 3$ получается путем сдвига графика функции $y = \sqrt{x}$ на 3 единицы вниз вдоль оси Oy.

5. При каких значениях $p$ и $q$ вершина параболы $y = x^2 + px + q$ находится в точке $A(-4; 6)$?

Для нахождения значений $p$ и $q$ воспользуемся вершинной формой записи уравнения параболы: $y = a(x - x_0)^2 + y_0$, где $(x_0; y_0)$ — координаты вершины, а $a$ — старший коэффициент.

В заданном уравнении $y = x^2 + px + q$ коэффициент при $x^2$ равен 1, следовательно, $a=1$.

По условию, вершина параболы находится в точке $A(-4; 6)$, значит, $x_0 = -4$ и $y_0 = 6$.

Подставим известные значения $a=1$, $x_0 = -4$ и $y_0 = 6$ в формулу: $y = 1 \cdot (x - (-4))^2 + 6$ $y = (x + 4)^2 + 6$

Теперь преобразуем полученное уравнение, раскрыв скобки, чтобы привести его к виду $y = x^2 + px + q$: $y = (x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2) + 6$ $y = x^2 + 8x + 16 + 6$ $y = x^2 + 8x + 22$

Сравнивая это уравнение с исходным уравнением $y = x^2 + px + q$, мы можем определить значения $p$ и $q$: $p = 8$ $q = 22$

Ответ: $p = 8$, $q = 22$.