Номер 3, страница 111 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

3. Постройте график функции $f(x) = x^2 + 2x - 3$. Используя график, найдите:

1) область значений данной функции;

2) промежуток возрастания функции;

3) множество решений неравенства $f(x) > 0$.

Для построения графика функции $f(x) = x^2 + 2x - 3$ необходимо проанализировать её свойства. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола.

1. Направление ветвей. Коэффициент при $x^2$ равен $a=1$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Вершина параболы. Найдем координаты вершины $(x_0, y_0)$ по формулам:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$.
$y_0 = f(x_0) = f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$.
Вершина параболы находится в точке $(-1, -4)$. Это точка минимума функции.

3. Точки пересечения с осями координат.
- С осью OY (при $x=0$): $f(0) = 0^2 + 2 \cdot 0 - 3 = -3$. Точка пересечения: $(0, -3)$.
- С осью OX (при $f(x)=0$): $x^2 + 2x - 3 = 0$. Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$. Точки пересечения: $(1, 0)$ и $(-3, 0)$.

По найденным точкам (вершина $(-1, -4)$, пересечения с осями $(0, -3)$, $(1, 0)$, $(-3, 0)$) строим параболу.

Используя график, найдём требуемые значения:

1) область значений данной функции;
Так как ветви параболы направлены вверх, а её вершина находится в точке $(-1, -4)$, наименьшее значение функции равно $-4$. Функция принимает все значения, большие или равные $-4$.
Ответ: $E(f) = [-4; +\infty)$.

2) промежуток возрастания функции;
Функция возрастает на луче справа от вершины. Абсцисса вершины $x_0 = -1$. Следовательно, функция возрастает при $x \ge -1$.
Ответ: $[-1; +\infty)$.

3) множество решений неравенства $f(x) > 0$.
Неравенство $f(x) > 0$ означает, что график функции должен быть расположен выше оси OX. Это происходит на интервалах, которые лежат левее корня $x = -3$ и правее корня $x = 1$.
Ответ: $(-\infty; -3) \cup (1; +\infty)$.