Номер 2, страница 111 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

2. Найдите область определения функции:

1) $f(x) = \frac{x^2 + 4}{x^2 - 10x + 24}$;

2) $f(x) = \sqrt{x+5} + \frac{6}{x^2 - 4}$.

1) Область определения функции $f(x) = \frac{x^2 + 4}{x^2 - 10x + 24}$ — это множество всех значений $x$, для которых функция имеет смысл. Данная функция представляет собой дробь, поэтому ее знаменатель не может быть равен нулю. Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль, и исключим их из области определения.
Приравняем знаменатель к нулю:
$x^2 - 10x + 24 = 0$
Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта или теоремы Виета.
По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = 10$
$x_1 \cdot x_2 = 24$
Подбором находим корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = 6$.
Следовательно, знаменатель равен нулю при $x = 4$ и $x = 6$. Эти значения необходимо исключить из области определения.
Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, кроме 4 и 6.
Ответ: $x \in (-\infty; 4) \cup (4; 6) \cup (6; +\infty)$.

2) Область определения функции $f(x) = \sqrt{x+5} + \frac{6}{x^2 - 4}$ находится из системы двух условий, которые должны выполняться одновременно:
1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным (больше или равно нулю).
$x + 5 \geq 0$
$x \geq -5$
2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю.
$x^2 - 4 \neq 0$
$x^2 \neq 4$
$x \neq \pm 2$
Итак, мы должны найти все значения $x$, которые удовлетворяют условию $x \geq -5$ и при этом не равны -2 и 2. На числовой прямой это будет луч, начинающийся в точке -5, из которого "выколоты" точки -2 и 2.
Запишем полученное множество в виде объединения интервалов.
Ответ: $x \in [-5; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.