Номер 1, страница 112 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

1. Решите неравенство:

1) $x^2 - 7x - 30 > 0;$

2) $x^2 - 4x + 6 < 0;$

3) $x^2 < 25;$

4) $x^2 - 6x + 9 \le 0.$

1) $x^2 - 7x - 30 > 0$

Для решения квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения: $x^2 - 7x - 30 = 0$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{7 - \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 13}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.

$x_2 = \frac{7 + \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 13}{2} = \frac{20}{2} = 10$.

Графиком функции $y = x^2 - 7x - 30$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1>0$). Парабола пересекает ось абсцисс в точках $x = -3$ и $x = 10$. Неравенство $x^2 - 7x - 30 > 0$ выполняется на тех интервалах, где график параболы расположен выше оси абсцисс. Это происходит левее меньшего корня и правее большего корня.

Следовательно, решением неравенства является объединение интервалов $(-\infty; -3)$ и $(10; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (10; +\infty)$.

2) $x^2 - 4x + 6 < 0$

Рассмотрим соответствующее квадратное уравнение $x^2 - 4x + 6 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 16 - 24 = -8$.

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней. Графиком функции $y = x^2 - 4x + 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($a=1>0$). Так как у параболы нет точек пересечения с осью абсцисс, она полностью расположена в верхней полуплоскости, то есть значения функции $y = x^2 - 4x + 6$ всегда положительны при любом значении $x$.

Таким образом, не существует значений $x$, при которых выражение $x^2 - 4x + 6$ было бы меньше нуля. Неравенство не имеет решений.

Ответ: решений нет.

3) $x^2 < 25$

Перенесем 25 в левую часть неравенства, чтобы привести его к стандартному виду: $x^2 - 25 < 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 25 = 0$. Используем формулу разности квадратов:

$(x - 5)(x + 5) = 0$.

Корни уравнения: $x_1 = -5$ и $x_2 = 5$.

Графиком функции $y = x^2 - 25$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Она пересекает ось абсцисс в точках $x = -5$ и $x = 5$. Неравенство $x^2 - 25 < 0$ выполняется на том интервале, где график параболы находится ниже оси абсцисс, то есть между корнями.

Следовательно, решением неравенства является интервал $(-5; 5)$.

Ответ: $x \in (-5; 5)$.

4) $x^2 - 6x + 9 \le 0$

Заметим, что выражение в левой части неравенства представляет собой полный квадрат разности: $x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x - 3)^2$.

Неравенство можно переписать в виде: $(x - 3)^2 \le 0$.

Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $(x - 3)^2 \ge 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Поэтому неравенство $(x - 3)^2 \le 0$ не может быть строго отрицательным ($<0$). Оно может выполняться только в случае равенства нулю.

$(x - 3)^2 = 0$.

Решая это уравнение, получаем: $x - 3 = 0$, откуда $x = 3$.

Таким образом, неравенство имеет единственное решение.

Ответ: $x = 3$.