Номер 5, страница 112 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

5. При каких значениях $a$ уравнение $x^2 - 6ax - 8a + 1 = 0$ не имеет корней?

$(x^2 + 6ax + 9a^2 - 16$

Данное уравнение $x^2 - 6ax - 8a + 1 = 0$ является квадратным относительно переменной $x$. Квадратное уравнение не имеет действительных корней в том случае, когда его дискриминант $D$ меньше нуля.

Формула дискриминанта для уравнения вида $Ax^2 + Bx + C = 0$ следующая: $D = B^2 - 4AC$.

В данном уравнении коэффициенты равны:

$A = 1$

$B = -6a$

$C = -8a + 1$

Подставим эти значения в формулу дискриминанта:

$D = (-6a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8a + 1)$

Упростим полученное выражение:

$D = 36a^2 - 4(-8a + 1) = 36a^2 + 32a - 4$

Теперь решим неравенство $D < 0$:

$36a^2 + 32a - 4 < 0$

Чтобы упростить неравенство, разделим обе его части на 4:

$9a^2 + 8a - 1 < 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $9a^2 + 8a - 1 = 0$.

Найдем дискриминант этого нового уравнения (относительно переменной $a$):

$D_a = 8^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-1) = 64 + 36 = 100$

Корни уравнения равны:

$a_1 = \frac{-8 - \sqrt{100}}{2 \cdot 9} = \frac{-8 - 10}{18} = \frac{-18}{18} = -1$

$a_2 = \frac{-8 + \sqrt{100}}{2 \cdot 9} = \frac{-8 + 10}{18} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$

Графиком функции $y = 9a^2 + 8a - 1$ является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $a^2$ положителен). Следовательно, значения функции будут отрицательными между ее корнями.

Таким образом, неравенство $9a^2 + 8a - 1 < 0$ выполняется для всех $a$, находящихся в интервале от -1 до $\frac{1}{9}$.

Ответ: $a \in (-1; \frac{1}{9})$