Номер 4, страница 111 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

4. Постройте график функции:

1) $f(x) = \sqrt{x-3}$;

2) $f(x) = \sqrt{x}-3$.

1) $f(x) = \sqrt{x-3}$

Для построения графика функции $f(x) = \sqrt{x-3}$ воспользуемся методом преобразования графиков. За основу возьмем график базовой функции $y = \sqrt{x}$.
График функции $y = \sqrt{x}$ — это ветвь параболы, которая начинается в точке (0, 0) и проходит через точки (1, 1), (4, 2), (9, 3) и т.д.

Функция $f(x) = \sqrt{x-3}$ получается из функции $y = \sqrt{x}$ путем замены аргумента $x$ на $x-3$. Такое преобразование, вида $y = f(x-a)$, соответствует параллельному переносу (сдвигу) графика исходной функции $y=f(x)$ на $a$ единиц вправо вдоль оси абсцисс (Ox). В нашем случае $a=3$, следовательно, график функции $y = \sqrt{x}$ нужно сдвинуть на 3 единицы вправо.

Найдем область определения функции. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:
$x - 3 \ge 0$
$x \ge 3$
Таким образом, область определения функции $D(f) = [3; +\infty)$.

Составим таблицу значений для построения графика, выбирая удобные значения $x$ из области определения:
- если $x = 3$, то $y = \sqrt{3-3} = \sqrt{0} = 0$. Получаем точку (3, 0). Это начальная точка графика.
- если $x = 4$, то $y = \sqrt{4-3} = \sqrt{1} = 1$. Получаем точку (4, 1).
- если $x = 7$, то $y = \sqrt{7-3} = \sqrt{4} = 2$. Получаем точку (7, 2).
- если $x = 12$, то $y = \sqrt{12-3} = \sqrt{9} = 3$. Получаем точку (12, 3).

Отмечаем эти точки на координатной плоскости и соединяем их плавной линией. Полученный график является ветвью параболы, смещенной на 3 единицы вправо от начала координат.

Ответ: График функции $f(x) = \sqrt{x-3}$ получается путем сдвига графика функции $y = \sqrt{x}$ на 3 единицы вправо вдоль оси Ox.

2) $f(x) = \sqrt{x} - 3$

Для построения графика функции $f(x) = \sqrt{x} - 3$ также воспользуемся преобразованием графика базовой функции $y = \sqrt{x}$.

Функция $f(x) = \sqrt{x} - 3$ получается из функции $y = \sqrt{x}$ путем вычитания числа 3 из значения функции. Такое преобразование, вида $y = f(x) - b$, соответствует параллельному переносу (сдвигу) графика исходной функции $y=f(x)$ на $b$ единиц вниз вдоль оси ординат (Oy). В нашем случае $b=3$, следовательно, график функции $y = \sqrt{x}$ нужно сдвинуть на 3 единицы вниз.

Найдем область определения функции. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:
$x \ge 0$
Таким образом, область определения функции $D(f) = [0; +\infty)$.

Составим таблицу значений для построения графика:
- если $x = 0$, то $y = \sqrt{0} - 3 = -3$. Получаем точку (0, -3). Это начальная точка графика.
- если $x = 1$, то $y = \sqrt{1} - 3 = 1 - 3 = -2$. Получаем точку (1, -2).
- если $x = 4$, то $y = \sqrt{4} - 3 = 2 - 3 = -1$. Получаем точку (4, -1).
- если $x = 9$, то $y = \sqrt{9} - 3 = 3 - 3 = 0$. Получаем точку (9, 0). Это точка пересечения графика с осью Ox.

Отмечаем эти точки на координатной плоскости и соединяем их плавной линией. Полученный график является ветвью параболы, смещенной на 3 единицы вниз от начала координат.

Ответ: График функции $f(x) = \sqrt{x} - 3$ получается путем сдвига графика функции $y = \sqrt{x}$ на 3 единицы вниз вдоль оси Oy.