Номер 8, страница 110 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

8. Докажите неравенство $10x^2 - 6xy + y^2 - 4x + 6 > 0$.

Для доказательства неравенства $10x^2 - 6xy + y^2 - 4x + 6 > 0$ преобразуем его левую часть, выделив полные квадраты.

Сгруппируем слагаемые. Заметим, что слагаемые $y^2$ и $-6xy$ могут быть частью квадрата разности. Для этого нам понадобится слагаемое с $x^2$. Представим $10x^2$ как $9x^2 + x^2$.

$10x^2 - 6xy + y^2 - 4x + 6 = (9x^2 - 6xy + y^2) + x^2 - 4x + 6$

Выражение в скобках является полным квадратом разности $(3x - y)^2$ или $(y - 3x)^2$. Запишем его:

$(y - 3x)^2 + x^2 - 4x + 6$

Теперь выделим полный квадрат для оставшихся слагаемых, содержащих $x$:

$x^2 - 4x + 6 = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2) - 2^2 + 6 = (x^2 - 4x + 4) + 2 = (x - 2)^2 + 2$

Подставим полученное выражение обратно в исходное преобразование:

$10x^2 - 6xy + y^2 - 4x + 6 = (y - 3x)^2 + (x - 2)^2 + 2$

Теперь проанализируем полученную сумму:

1. $(y - 3x)^2$ — это квадрат действительного числа, следовательно, его значение всегда неотрицательно, то есть $(y - 3x)^2 \ge 0$ для любых $x$ и $y$.

2. $(x - 2)^2$ — это также квадрат действительного числа, и его значение всегда неотрицательно, то есть $(x - 2)^2 \ge 0$ для любого $x$.

Сумма двух неотрицательных чисел также неотрицательна: $(y - 3x)^2 + (x - 2)^2 \ge 0$.

Прибавив к этой сумме положительное число 2, мы получим выражение, которое всегда будет больше или равно 2:

$(y - 3x)^2 + (x - 2)^2 + 2 \ge 0 + 0 + 2 = 2$

Поскольку $2 > 0$, то и все выражение строго больше нуля для любых действительных значений $x$ и $y$.

Таким образом, неравенство $10x^2 - 6xy + y^2 - 4x + 6 > 0$ доказано.

Ответ: Неравенство доказано, так как его левая часть тождественно равна выражению $(y - 3x)^2 + (x - 2)^2 + 2$, которое представляет собой сумму двух неотрицательных слагаемых (квадратов) и положительного числа 2, в силу чего его значение всегда не меньше 2, а значит, строго больше 0.