Номер 5, страница 110 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

5. Найдите множество решений неравенства:

1) $\frac{2x + 3}{3} - \frac{x + 1}{4} < -1;$

2) $5x + 2 < 4(2x - 1) - 3x.$

1)

Решим неравенство $\frac{2x + 3}{3} - \frac{x + 1}{4} < -1$.

Для начала избавимся от знаменателей, умножив обе части неравенства на наименьшее общее кратное чисел 3 и 4, то есть на 12. Так как мы умножаем на положительное число, знак неравенства не меняется.

$12 \cdot \left(\frac{2x + 3}{3} - \frac{x + 1}{4}\right) < 12 \cdot (-1)$

$12 \cdot \frac{2x + 3}{3} - 12 \cdot \frac{x + 1}{4} < -12$

Сократим дроби:

$4(2x + 3) - 3(x + 1) < -12$

Раскроем скобки:

$8x + 12 - 3x - 3 < -12$

Приведем подобные слагаемые в левой части неравенства:

$(8x - 3x) + (12 - 3) < -12$

$5x + 9 < -12$

Перенесем 9 в правую часть, изменив знак:

$5x < -12 - 9$

$5x < -21$

Разделим обе части на 5. Знак неравенства не меняется.

$x < -\frac{21}{5}$

Преобразуем неправильную дробь в десятичную:

$x < -4.2$

Множество решений неравенства — это числовой промежуток от минус бесконечности до -4,2, не включая -4,2.

Ответ: $(-\infty; -4.2)$

2)

Решим неравенство $5x + 2 < 4(2x - 1) - 3x$.

Раскроем скобки в правой части неравенства:

$5x + 2 < 8x - 4 - 3x$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$5x + 2 < (8x - 3x) - 4$

$5x + 2 < 5x - 4$

Перенесем все слагаемые, содержащие $x$, в левую часть, а свободные члены — в правую, меняя их знаки на противоположные:

$5x - 5x < -4 - 2$

$0 \cdot x < -6$

$0 < -6$

В результате мы получили неверное числовое неравенство, которое не зависит от переменной $x$. Это означает, что исходное неравенство не имеет решений.

Ответ: $\emptyset$