Номер 6, страница 110 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

6. Найдите целые решения системы неравенств

$ \begin{cases} 2(3x - 4) \ge 4(x + 1) - 3, \\ x(x - 4) - (x + 3)(x - 5) > -5. \end{cases} $

Для решения данной системы неравенств необходимо найти решения каждого неравенства по отдельности, а затем определить их общее множество решений (пересечение). После этого из найденного множества нужно выбрать все целые числа.

Решим первое неравенство системы: $2(3x-4) \ge 4(x+1) - 3$.

Сначала раскроем скобки в обеих частях неравенства:

$6x - 8 \ge 4x + 4 - 3$

Упростим правую часть:

$6x - 8 \ge 4x + 1$

Теперь сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части, а постоянные слагаемые — в правой:

$6x - 4x \ge 1 + 8$

Приведем подобные члены:

$2x \ge 9$

Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x \ge \frac{9}{2}$

Таким образом, $x \ge 4.5$. Решением первого неравенства является промежуток $[4.5; +\infty)$.

Теперь решим второе неравенство системы: $x(x-4) - (x+3)(x-5) > -5$.

Раскроем скобки. Для второго слагаемого используем правило умножения многочленов:

$x^2 - 4x - (x^2 - 5x + 3x - 15) > -5$

Упростим выражение в скобках:

$x^2 - 4x - (x^2 - 2x - 15) > -5$

Теперь раскроем скобки, учитывая знак минус перед ними:

$x^2 - 4x - x^2 + 2x + 15 > -5$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$-2x + 15 > -5$

Перенесем 15 в правую часть с противоположным знаком:

$-2x > -5 - 15$

$-2x > -20$

Разделим обе части на -2. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x < \frac{-20}{-2}$

$x < 10$

Решением второго неравенства является промежуток $(-\infty; 10)$.

Теперь найдем общее решение системы, то есть пересечение полученных промежутков: $x \ge 4.5$ и $x < 10$.

Это можно записать в виде двойного неравенства: $4.5 \le x < 10$.

Решением системы является интервал $[4.5; 10)$.

По условию задачи, нам нужно найти все целые решения. Выберем все целые числа, которые находятся в промежутке $[4.5; 10)$.

Такими числами являются: 5, 6, 7, 8, 9.

Ответ: 5, 6, 7, 8, 9.