Номер 2, страница 112 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

2. Решите систему уравнений

$\begin{cases} x - 4y = 3, \\ xy + 2y = 9. \end{cases}$

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x - 4y = 3, \\ xy + 2y = 9. \end{cases} $

Для решения системы воспользуемся методом подстановки. Из первого уравнения выразим переменную $x$ через $y$:

$x = 3 + 4y$

Подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$(3 + 4y)y + 2y = 9$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение:

$3y + 4y^2 + 2y = 9$

Приведём подобные слагаемые:

$4y^2 + 5y = 9$

Перенесём все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$4y^2 + 5y - 9 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=4$, $b=5$, $c=-9$:

$D = 5^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-9) = 25 + 144 = 169$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{169} = 13$.

Найдем корни уравнения для $y$ по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$y_1 = \frac{-5 + 13}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1$

$y_2 = \frac{-5 - 13}{2 \cdot 4} = \frac{-18}{8} = -\frac{9}{4}$

Теперь для каждого найденного значения $y$ вычислим соответствующее значение $x$, используя ранее полученную формулу $x = 3 + 4y$.

1. При $y_1 = 1$:

$x_1 = 3 + 4 \cdot 1 = 3 + 4 = 7$

Получили первую пару решений: $(7; 1)$.

2. При $y_2 = -\frac{9}{4}$:

$x_2 = 3 + 4 \cdot (-\frac{9}{4}) = 3 - 9 = -6$

Получили вторую пару решений: $(-6; -\frac{9}{4})$.

Выполним проверку, подставив найденные пары значений в исходную систему.

Проверка для пары $(7; 1)$:

$ \begin{cases} 7 - 4(1) = 7 - 4 = 3 & \text{(верно)} \\ 7(1) + 2(1) = 7 + 2 = 9 & \text{(верно)} \end{cases} $

Проверка для пары $(-6; -\frac{9}{4})$:

$ \begin{cases} -6 - 4(-\frac{9}{4}) = -6 + 9 = 3 & \text{(верно)} \\ (-6)(-\frac{9}{4}) + 2(-\frac{9}{4}) = \frac{54}{4} - \frac{18}{4} = \frac{36}{4} = 9 & \text{(верно)} \end{cases} $

Обе пары чисел являются решениями системы уравнений.

Ответ: $(7; 1)$, $(-6; -\frac{9}{4})$.