Номер 6, страница 112 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

6. Решите систему уравнений

$\begin{cases} x^2 + 6xy + 9y^2 = 16, \\ x - 3y = -2. \end{cases}$

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 + 6xy + 9y^2 = 16 \\ x - 3y = -2 \end{cases}$

Заметим, что левая часть первого уравнения, $x^2 + 6xy + 9y^2$, является полным квадратом суммы. Используя формулу $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a=x$ и $b=3y$, мы можем преобразовать это выражение:

$x^2 + 2 \cdot x \cdot (3y) + (3y)^2 = (x+3y)^2$

Таким образом, первое уравнение системы можно переписать в виде:

$(x+3y)^2 = 16$

Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, получаем два возможных случая:

$x+3y = 4$ или $x+3y = -4$.

Теперь решим две системы линейных уравнений, каждая из которых состоит из одного из полученных уравнений и второго уравнения исходной системы.

1. Первый случай: $x+3y = 4$

Составим и решим систему:

$\begin{cases} x+3y = 4 \\ x-3y = -2 \end{cases}$

Сложим почленно два уравнения системы, чтобы исключить переменную $y$:

$(x+3y) + (x-3y) = 4 + (-2)$

$2x = 2$

$x = 1$

Теперь подставим найденное значение $x=1$ в любое из уравнений системы, например, в $x-3y = -2$:

$1 - 3y = -2$

$-3y = -2 - 1$

$-3y = -3$

$y = 1$

Таким образом, первая пара решений: $(1; 1)$.

2. Второй случай: $x+3y = -4$

Составим и решим систему:

$\begin{cases} x+3y = -4 \\ x-3y = -2 \end{cases}$

Сложим почленно два уравнения системы:

$(x+3y) + (x-3y) = -4 + (-2)$

$2x = -6$

$x = -3$

Подставим найденное значение $x=-3$ в уравнение $x-3y = -2$:

$-3 - 3y = -2$

$-3y = -2 + 3$

$-3y = 1$

$y = -1/3$

Таким образом, вторая пара решений: $(-3; -1/3)$.

Ответ: $(1; 1)$, $(-3; -1/3)$.