Номер 4, страница 112 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

4. Решите графически систему уравнений $$\begin{cases} y = x^2 - 4x, \\ 2x - y = 8. \end{cases}$$

Для графического решения системы уравнений необходимо построить графики каждого уравнения в одной системе координат. Координаты точек пересечения этих графиков будут являться решением системы.

Графиком этого уравнения является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$), ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы $(x_0; y_0)$:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$.

$y_0 = (2)^2 - 4(2) = 4 - 8 = -4$.

Вершина параболы находится в точке $(2; -4)$.

Найдем точки пересечения с осями координат (нули функции):

При $x=0$, $y = 0^2 - 4(0) = 0$. Точка пересечения с осью OY: $(0; 0)$.

При $y=0$, $x^2 - 4x = 0 \Rightarrow x(x-4)=0$. Корни $x_1=0$, $x_2=4$. Точки пересечения с осью OX: $(0; 0)$ и $(4; 0)$.

Для более точного построения найдем несколько дополнительных точек:

• При $x=-1$, $y=(-1)^2-4(-1)=1+4=5$. Точка $(-1; 5)$.
• При $x=1$, $y=1^2-4(1)=1-4=-3$. Точка $(1; -3)$.
• При $x=3$, $y=3^2-4(3)=9-12=-3$. Точка $(3; -3)$.

Выразим $y$ через $x$, чтобы представить уравнение в виде линейной функции $y = kx+b$:

$2x - y = 8 \Rightarrow -y = -2x + 8 \Rightarrow y = 2x - 8$.

Графиком этого уравнения является прямая. Для ее построения достаточно найти координаты двух любых точек.

Составим таблицу значений:

• При $x=0$, $y = 2(0) - 8 = -8$. Точка $(0; -8)$.
• При $x=4$, $y = 2(4) - 8 = 8 - 8 = 0$. Точка $(4; 0)$.

Построим параболу $y = x^2 - 4x$ и прямую $y = 2x - 8$ в одной системе координат. Точки, в которых графики пересекаются, являются решениями системы.

Из графиков видно, что парабола и прямая пересекаются в двух точках. Определим их координаты:

Первая точка пересечения: $(2; -4)$.

Вторая точка пересечения: $(4; 0)$.

Выполним проверку, подставив координаты этих точек в оба уравнения системы:

Для точки $(2; -4)$:

$y = x^2 - 4x \Rightarrow -4 = 2^2 - 4(2) \Rightarrow -4 = 4 - 8 \Rightarrow -4 = -4$ (верно).

$2x - y = 8 \Rightarrow 2(2) - (-4) = 8 \Rightarrow 4 + 4 = 8 \Rightarrow 8 = 8$ (верно).

Для точки $(4; 0)$:

$y = x^2 - 4x \Rightarrow 0 = 4^2 - 4(4) \Rightarrow 0 = 16 - 16 \Rightarrow 0 = 0$ (верно).

$2x - y = 8 \Rightarrow 2(4) - 0 = 8 \Rightarrow 8 - 0 = 8 \Rightarrow 8 = 8$ (верно).

Обе точки удовлетворяют обоим уравнениям, следовательно, они являются решениями системы.

Ответ: $(2; -4)$, $(4; 0)$.