Номер 3, страница 113 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

3. Сколько чётных четырёхзначных чисел, все цифры которых различны, можно записать с помощью цифр 2, 3, 4, 7 и 9?

Для решения задачи необходимо найти количество чётных четырёхзначных чисел, составленных из цифр {2, 3, 4, 7, 9} так, чтобы все цифры в числе были различны. Для этого воспользуемся комбинаторным правилом умножения, последовательно определяя количество возможных вариантов для каждого разряда числа.

Четырёхзначное число состоит из четырёх позиций (разрядов). Начнём с позиции, на которую наложено самое строгое ограничение — разряда единиц.

Чтобы число было чётным, его последняя цифра (в разряде единиц) должна быть чётной. Из предложенного набора {2, 3, 4, 7, 9} чётными являются только две цифры: 2 и 4. Следовательно, для разряда единиц у нас есть 2 варианта выбора.

Согласно условию, все цифры в числе должны быть различны. Так как одну из пяти цифр мы уже использовали для разряда единиц, для заполнения оставшихся трёх разрядов у нас осталось 4 цифры.

Рассмотрим разряд тысяч (первая цифра числа). На это место можно поставить любую из 4 оставшихся цифр. Таким образом, у нас есть 4 варианта выбора.

Теперь для разряда сотен (вторая цифра) у нас осталось 3 неиспользованные цифры (поскольку две уже заняты в разрядах тысяч и единиц). Это даёт 3 варианта выбора.

Наконец, для разряда десятков (третья цифра) остаётся 2 неиспользованные цифры. Это даёт 2 варианта выбора.

Чтобы найти общее количество возможных чисел, нужно перемножить количество вариантов для каждой позиции:$N = (\text{варианты для единиц}) \times (\text{варианты для тысяч}) \times (\text{варианты для сотен}) \times (\text{варианты для десятков})$$N = 2 \times 4 \times 3 \times 2 = 48$

Таким образом, из данных цифр можно составить 48 различных чётных четырёхзначных чисел. Ответ: 48