Страница 113 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

1. Вкладчик положил в банк 40 000 р. под 7 % годовых. Сколько денег будет на его счёте через 2 года?

Для решения этой задачи необходимо рассчитать сумму на вкладе с учетом ежегодного начисления сложных процентов. Это означает, что проценты за каждый следующий год начисляются на сумму, которая уже включает в себя проценты за предыдущие годы.

Исходные данные:

• Первоначальная сумма вклада ($P$): 40 000 р.
• Годовая процентная ставка ($r$): 7 %.
• Срок вклада ($n$): 2 года.

Рассчитать итоговую сумму можно двумя способами.

Способ 1: Пошаговый расчет

1. Вычислим, какая сумма будет на счете через год. Сначала найдем 7% от первоначального вклада:

Сумма процентов за первый год = $40000 \cdot \frac{7}{100} = 2800$ р.

Теперь добавим эту сумму к вкладу:

Сумма на счете через 1 год = $40000 + 2800 = 42800$ р.

2. Вычислим сумму на счете через два года. На второй год проценты будут начисляться уже на новую сумму, то есть на 42 800 р.:

Сумма процентов за второй год = $42800 \cdot \frac{7}{100} = 2996$ р.

Добавим эту сумму к той, что была на счете после первого года:

Итоговая сумма на счете через 2 года = $42800 + 2996 = 45796$ р.

Способ 2: Использование формулы сложных процентов

Формула для расчета конечной суммы ($S$) выглядит так:

$S = P \cdot (1 + \frac{r}{100})^n$

Подставим в нее наши значения:

$S = 40000 \cdot (1 + \frac{7}{100})^2$

Выполним вычисления:

$S = 40000 \cdot (1 + 0.07)^2$

$S = 40000 \cdot (1.07)^2$

$S = 40000 \cdot 1.1449$

$S = 45796$ р.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 45 796 р.

2. Найдите абсолютную погрешность приближения числа $\frac{3}{7}$ числом 0,43.

Абсолютная погрешность приближения – это модуль разности между точным значением и его приближенным значением. В данном случае точное значение – это число $\frac{3}{7}$, а приближенное – $0,43$.

Обозначим точное значение как $x = \frac{3}{7}$, а приближенное значение как $a = 0,43$.

Абсолютная погрешность $\Delta$ вычисляется по формуле: $\Delta = |x - a|$

Для вычисления разности представим десятичную дробь $0,43$ в виде обыкновенной дроби: $0,43 = \frac{43}{100}$

Теперь найдем разность между точным и приближенным значениями. Для этого приведем дроби к общему знаменателю, который равен $7 \times 100 = 700$: $\frac{3}{7} - \frac{43}{100} = \frac{3 \cdot 100}{7 \cdot 100} - \frac{43 \cdot 7}{100 \cdot 7} = \frac{300}{700} - \frac{301}{700} = -\frac{1}{700}$

Абсолютная погрешность равна модулю полученной разности: $\Delta = |-\frac{1}{700}| = \frac{1}{700}$

Ответ: $\frac{1}{700}$

3. Сколько чётных четырёхзначных чисел, все цифры которых различны, можно записать с помощью цифр 2, 3, 4, 7 и 9?

Для решения задачи необходимо найти количество чётных четырёхзначных чисел, составленных из цифр {2, 3, 4, 7, 9} так, чтобы все цифры в числе были различны. Для этого воспользуемся комбинаторным правилом умножения, последовательно определяя количество возможных вариантов для каждого разряда числа.

Четырёхзначное число состоит из четырёх позиций (разрядов). Начнём с позиции, на которую наложено самое строгое ограничение — разряда единиц.

Чтобы число было чётным, его последняя цифра (в разряде единиц) должна быть чётной. Из предложенного набора {2, 3, 4, 7, 9} чётными являются только две цифры: 2 и 4. Следовательно, для разряда единиц у нас есть 2 варианта выбора.

Согласно условию, все цифры в числе должны быть различны. Так как одну из пяти цифр мы уже использовали для разряда единиц, для заполнения оставшихся трёх разрядов у нас осталось 4 цифры.

Рассмотрим разряд тысяч (первая цифра числа). На это место можно поставить любую из 4 оставшихся цифр. Таким образом, у нас есть 4 варианта выбора.

Теперь для разряда сотен (вторая цифра) у нас осталось 3 неиспользованные цифры (поскольку две уже заняты в разрядах тысяч и единиц). Это даёт 3 варианта выбора.

Наконец, для разряда десятков (третья цифра) остаётся 2 неиспользованные цифры. Это даёт 2 варианта выбора.

Чтобы найти общее количество возможных чисел, нужно перемножить количество вариантов для каждой позиции:$N = (\text{варианты для единиц}) \times (\text{варианты для тысяч}) \times (\text{варианты для сотен}) \times (\text{варианты для десятков})$$N = 2 \times 4 \times 3 \times 2 = 48$

Таким образом, из данных цифр можно составить 48 различных чётных четырёхзначных чисел. Ответ: 48

4. Найдите среднее значение, моду, медиану и размах совокупности данных: 10, 6, 7, 14, 12, 5, 12, 4.

Для нахождения статистических характеристик совокупности данных 10, 6, 7, 14, 12, 5, 12, 4, первым шагом упорядочим все числа в порядке возрастания:

4, 5, 6, 7, 10, 12, 12, 14.

Всего в наборе 8 чисел.

Среднее значение

Среднее значение (или среднее арифметическое) — это сумма всех чисел в наборе, деленная на их количество. Сложим все числа и разделим на 8.

$\frac{4+5+6+7+10+12+12+14}{8} = \frac{70}{8} = 8.75$

Ответ: 8.75

Мода

Мода — это значение, которое встречается в наборе данных наиболее часто. В данном ряду чисел только число 12 повторяется (дважды), остальные встречаются по одному разу.

Ответ: 12

Медиана

Медиана — это число, которое находится в середине упорядоченного набора. Поскольку в наборе четное количество элементов (8), медиана равна среднему арифметическому двух чисел, стоящих в центре. В нашем случае это четвертое и пятое числа.

Упорядоченный ряд: 4, 5, 6, 7, 10, 12, 12, 14.

$\frac{7+10}{2} = \frac{17}{2} = 8.5$

Ответ: 8.5

Размах

Размах совокупности — это разность между наибольшим и наименьшим значениями в наборе.

Наибольшее значение: 14.
Наименьшее значение: 4.

$14 - 4 = 10$

Ответ: 10

5. В коробке лежат 12 карточек, пронумерованных числами от 1 до 12. Какова вероятность того, что на карточке, вынутой наугад, будет записано число, которое:

1) кратно числу 3;

2) не кратно ни числу 2, ни числу 5?

По условию задачи, в коробке лежат 12 карточек, пронумерованных числами от 1 до 12. Это означает, что общее число всех равновероятных исходов при вытягивании одной карточки равно $n = 12$.

1) кратно числу 3;
Пусть событие A заключается в том, что на вытянутой карточке будет записано число, кратное 3. Благоприятными исходами для этого события являются те числа от 1 до 12, которые делятся на 3 без остатка. Выпишем эти числа: 3, 6, 9, 12. Таким образом, количество благоприятных исходов равно $m = 4$. Вероятность события A вычисляется по классической формуле вероятности: $P(A) = \frac{m}{n}$. Подставим значения $m$ и $n$: $P(A) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$

2) не кратно ни числу 2, ни числу 5?
Пусть событие B заключается в том, что на вытянутой карточке будет записано число, которое не кратно ни числу 2, ни числу 5. Это означает, что искомое число должно быть одновременно нечетным и не должно делиться на 5. Выпишем все числа от 1 до 12, которые удовлетворяют этим условиям. Сначала выберем все нечетные числа из диапазона [1, 12]: {1, 3, 5, 7, 9, 11}. Теперь из этого набора исключим числа, которые кратны 5. Таким числом является только 5. В результате получаем набор чисел, благоприятствующих событию B: {1, 3, 7, 9, 11}. Количество благоприятных исходов равно $m = 5$. Вероятность события B вычисляется по формуле: $P(B) = \frac{m}{n}$. Подставим значения $m$ и $n$: $P(B) = \frac{5}{12}$.
Ответ: $\frac{5}{12}$

6. Из двух сёл, расстояние между которыми равно 16 км, отправились одновременно навстречу друг другу пешеход и велосипедист и встретились через 1 ч. Найдите скорость каждого из них, если велосипедист потратил на весь путь на 2 ч 40 мин меньше, чем пешеход.

Пусть $v_п$ — скорость пешехода в км/ч, а $v_в$ — скорость велосипедиста в км/ч.

Поскольку пешеход и велосипедист движутся навстречу друг другу, их скорость сближения равна сумме их скоростей: $v_п + v_в$. За 1 час до встречи они вместе преодолели всё расстояние $S=16$ км. Отсюда можно составить первое уравнение:

$(v_п + v_в) \cdot 1 = 16$

$v_п + v_в = 16$

Время, которое требуется пешеходу, чтобы пройти весь путь в 16 км, равно $t_п = \frac{16}{v_п}$. Время, которое требуется велосипедисту, равно $t_в = \frac{16}{v_в}$.

Разница во времени составляет 2 часа 40 минут. Переведём это время в часы: $2 \text{ ч } 40 \text{ мин} = 2 + \frac{40}{60} = 2 + \frac{2}{3} = \frac{8}{3}$ часа. По условию, время пешехода больше времени велосипедиста, поэтому можем составить второе уравнение:

$t_п - t_в = \frac{8}{3}$

$\frac{16}{v_п} - \frac{16}{v_в} = \frac{8}{3}$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$\begin{cases} v_п + v_в = 16 \\ \frac{16}{v_п} - \frac{16}{v_в} = \frac{8}{3} \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $v_п$: $v_п = 16 - v_в$. Подставим это выражение во второе уравнение:

$\frac{16}{16 - v_в} - \frac{16}{v_в} = \frac{8}{3}$

Чтобы упростить уравнение, разделим обе его части на 8:

$\frac{2}{16 - v_в} - \frac{2}{v_в} = \frac{1}{3}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $v_в(16 - v_в)$:

$\frac{2v_в - 2(16 - v_в)}{v_в(16 - v_в)} = \frac{1}{3}$

$\frac{2v_в - 32 + 2v_в}{16v_в - v_в^2} = \frac{1}{3}$

$\frac{4v_в - 32}{16v_в - v_в^2} = \frac{1}{3}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$3(4v_в - 32) = 1(16v_в - v_в^2)$

$12v_в - 96 = 16v_в - v_в^2$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$v_в^2 + 12v_в - 16v_в - 96 = 0$

$v_в^2 - 4v_в - 96 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-96) = 16 + 384 = 400$

Найдём корни уравнения:

$v_{в1} = \frac{-(-4) + \sqrt{400}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 20}{2} = 12$

$v_{в2} = \frac{-(-4) - \sqrt{400}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 20}{2} = -8$

Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем корень $v_в = 12$. Таким образом, скорость велосипедиста равна 12 км/ч.

Теперь найдём скорость пешехода, используя первое уравнение:

$v_п = 16 - v_в = 16 - 12 = 4$

Скорость пешехода равна 4 км/ч.

Ответ: скорость пешехода — 4 км/ч, скорость велосипедиста — 12 км/ч.

7. Цену товара сначала повысили на 20 %, а затем снизили на 40 %. Как и на сколько процентов изменилась первоначальная цена вследствие этих двух переоценок?

Для решения задачи примем первоначальную цену товара за $x$.

1. Повышение цены на 20 %

Сначала цену повысили на 20 %. Это значит, что новая цена составила $100\% + 20\% = 120\%$ от первоначальной. Чтобы найти новую цену, умножим $x$ на коэффициент, соответствующий 120 %:

$x \cdot (1 + \frac{20}{100}) = x \cdot 1.2 = 1.2x$

Итак, после повышения цена товара стала $1.2x$.

2. Снижение новой цены на 40 %

Затем полученную цену $1.2x$ снизили на 40 %. Важно отметить, что 40 % вычисляются от новой, уже повышенной цены. После снижения цена составит $100\% - 40\% = 60\%$ от цены $1.2x$. Вычислим итоговую цену:

$(1.2x) \cdot (1 - \frac{40}{100}) = 1.2x \cdot 0.6 = 0.72x$

3. Определение итогового изменения цены

Первоначальная цена была $x$ (что можно принять за 1), а конечная цена стала $0.72x$. Чтобы найти, как и на сколько процентов изменилась цена, сравним итоговый коэффициент с первоначальным:

$1 - 0.72 = 0.28$

Это означает, что цена уменьшилась на 0.28. Чтобы выразить это в процентах, умножим на 100:

$0.28 \cdot 100\% = 28\%$

Так как конечная цена ($0.72x$) меньше первоначальной ($x$), то цена снизилась.

Ответ: Первоначальная цена снизилась на 28 %.

8. В коробке лежат шары, из которых 9 — синие, а остальные — зелёные. Сколько в коробке зелёных шаров, если вероятность того, что выбранный наугад шар окажется зелёным, равна $\frac{4}{7}$?

Пусть $x$ — это количество зелёных шаров в коробке.

По условию, в коробке лежит 9 синих шаров.

Тогда общее количество шаров в коробке равно сумме синих и зелёных шаров: $9 + x$.

Вероятность события по классическому определению — это отношение числа благоприятных исходов к общему числу всех равновозможных исходов.

Событие, которое нас интересует, — это выбор зелёного шара.

Число благоприятных исходов равно количеству зелёных шаров, то есть $x$.

Общее число исходов равно общему количеству шаров, то есть $9 + x$.

Таким образом, вероятность выбрать зелёный шар равна $\frac{x}{9 + x}$.

Из условия задачи известно, что эта вероятность равна $\frac{4}{7}$. Мы можем составить уравнение:

$\frac{x}{9 + x} = \frac{4}{7}$

Для решения этого уравнения воспользуемся свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$7 \cdot x = 4 \cdot (9 + x)$

Раскроем скобки в правой части:

$7x = 36 + 4x$

Перенесём слагаемые с $x$ в левую часть уравнения, а числа оставим в правой:

$7x - 4x = 36$

$3x = 36$

Теперь найдём $x$, разделив обе части уравнения на 3:

$x = \frac{36}{3}$

$x = 12$

Значит, в коробке 12 зелёных шаров.

Ответ: 12

9. Число 6 составляет от положительного числа $x$ столько же процентов, сколько число $x$ составляет от числа 24. Найдите число $x$.

По условию задачи, процент, который число 6 составляет от положительного числа $x$, равен проценту, который число $x$ составляет от числа 24.

Процентное отношение числа 6 к числу $x$ можно выразить формулой:
$\frac{6}{x} \cdot 100\%$

Процентное отношение числа $x$ к числу 24 можно выразить формулой:
$\frac{x}{24} \cdot 100\%$

Приравняем эти два выражения, так как по условию они равны:
$\frac{6}{x} \cdot 100\% = \frac{x}{24} \cdot 100\%$

Разделим обе части уравнения на $100\%$, чтобы упростить его:
$\frac{6}{x} = \frac{x}{24}$

Получилась пропорция. Используем основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):
$x \cdot x = 6 \cdot 24$
$x^2 = 144$

Теперь найдем $x$, извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения:
$x = \sqrt{144}$ или $x = -\sqrt{144}$
$x = 12$ или $x = -12$

В условии сказано, что $x$ — положительное число, поэтому из двух найденных корней подходит только $x = 12$.

Ответ: 12