Страница 118 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

1. Решите неравенство:

1) $x^2 + 4x - 21 > 0$;

2) $x^2 - 6x + 11 > 0$;

3) $x^2 > 81$;

4) $x^2 + 14x + 49 > 0$.

1) $x^2 + 4x - 21 > 0$

Для решения квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 4x - 21 = 0$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{100}}{2} = \frac{-4 - 10}{2} = -7$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{100}}{2} = \frac{-4 + 10}{2} = 3$

Графиком функции $y = x^2 + 4x - 21$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$). Парабола пересекает ось Ox в точках $x = -7$ и $x = 3$. Неравенство $y > 0$ выполняется на тех промежутках, где график параболы расположен выше оси Ox, то есть левее меньшего корня и правее большего корня.

Таким образом, решение неравенства: $x < -7$ или $x > 3$.

Ответ: $x \in (-\infty; -7) \cup (3; \infty)$

2) $x^2 - 6x + 11 > 0$

Найдем дискриминант соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 6x + 11 = 0$:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11 = 36 - 44 = -8$

Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что график функции $y = x^2 - 6x + 11$ не пересекает ось Ox. Поскольку коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$), ветви параболы направлены вверх. Следовательно, вся парабола находится выше оси Ox, и выражение $x^2 - 6x + 11$ принимает положительные значения при любом действительном значении $x$.

Другой способ — выделить полный квадрат:

$x^2 - 6x + 11 = (x^2 - 6x + 9) + 2 = (x - 3)^2 + 2$

Выражение $(x - 3)^2$ всегда неотрицательно (больше или равно нулю). Поэтому $(x - 3)^2 + 2$ всегда больше или равно 2, а значит, всегда строго больше нуля.

Ответ: $x \in (-\infty; \infty)$

3) $x^2 > 81$

Перенесем 81 в левую часть неравенства:

$x^2 - 81 > 0$

Разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов:

$(x - 9)(x + 9) > 0$

Корнями уравнения $(x-9)(x+9)=0$ являются $x = 9$ и $x = -9$. Эти точки делят числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -9)$, $(-9; 9)$ и $(9; \infty)$. Определим знак произведения на каждом интервале методом подстановки:

• При $x < -9$ (например, $x=-10$): $(-10-9)(-10+9) = (-19)(-1) = 19 > 0$.
• При $-9 < x < 9$ (например, $x=0$): $(0-9)(0+9) = (-9)(9) = -81 < 0$.
• При $x > 9$ (например, $x=10$): $(10-9)(10+9) = (1)(19) = 19 > 0$.

Неравенство выполняется на интервалах, где произведение положительно.

Ответ: $x \in (-\infty; -9) \cup (9; \infty)$

4) $x^2 + 14x + 49 > 0$

Левая часть неравенства представляет собой полный квадрат суммы, так как $x^2 + 14x + 49 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 7 + 7^2 = (x + 7)^2$.

Перепишем неравенство в виде:

$(x + 7)^2 > 0$

Квадрат любого действительного числа является неотрицательным, то есть $(x + 7)^2 \ge 0$. Нам нужно найти значения $x$, для которых это выражение строго больше нуля. Выражение $(x + 7)^2$ равно нулю только в одном случае:

$x + 7 = 0 \implies x = -7$

Во всех остальных случаях $(x + 7)^2$ будет строго положительным. Таким образом, неравенство выполняется для всех действительных чисел, кроме $x = -7$.

Ответ: $x \in (-\infty; -7) \cup (-7; \infty)$

2. Решите систему уравнений

Для решения данной системы уравнений, состоящей из одного линейного и одного квадратного уравнения, удобно использовать метод подстановки.

$ \begin{cases} 2x + y = 7, \\ x^2 - xy = 6. \end{cases} $

Из первого, более простого, уравнения выразим переменную $y$ через $x$:

$y = 7 - 2x$

Теперь подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение системы:

$x^2 - x(7 - 2x) = 6$

Раскроем скобки и преобразуем полученное уравнение в стандартное квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$:

$x^2 - 7x + 2x^2 = 6$

$3x^2 - 7x - 6 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Сначала найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 49 + 72 = 121$

Поскольку дискриминант положителен ($D > 0$), уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{7 + 11}{6} = \frac{18}{6} = 3$

$x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{7 - 11}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$

Теперь для каждого найденного значения $x$ необходимо найти соответствующее значение $y$, подставив $x$ в выражение $y = 7 - 2x$.

Если $x_1 = 3$, то:

$y_1 = 7 - 2 \cdot 3 = 7 - 6 = 1$

Следовательно, первая пара решений $(x; y)$ это $(3; 1)$.

Если $x_2 = -\frac{2}{3}$, то:

$y_2 = 7 - 2 \cdot (-\frac{2}{3}) = 7 + \frac{4}{3} = \frac{21}{3} + \frac{4}{3} = \frac{25}{3}$

Следовательно, вторая пара решений $(x; y)$ это $(-\frac{2}{3}; \frac{25}{3})$.

Ответ: $(3; 1)$, $(-\frac{2}{3}; \frac{25}{3})$.

3. Найдите область определения функции:

1) $y=\sqrt{4x-x^2}$;

2) $y=\frac{8}{\sqrt{12+x-x^2}}$.

1) $y = \sqrt{4x - x^2}$

Область определения функции находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Решим неравенство:

$4x - x^2 \ge 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(4 - x) \ge 0$

Для решения этого неравенства найдем нули выражения $x(4 - x)$. Это $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.
Графиком функции $f(x) = 4x - x^2$ является парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицательный. Следовательно, функция принимает неотрицательные значения на промежутке между корнями, включая сами корни.

Таким образом, область определения функции — это отрезок $[0; 4]$.

Ответ: $[0; 4]$.

2) $y = \frac{8}{\sqrt{12 + x - x^2}}$

Область определения данной функции определяется двумя условиями: выражение под корнем должно быть неотрицательным, и знаменатель не должен быть равен нулю. Объединив эти условия, получаем, что выражение под корнем должно быть строго положительным:

$12 + x - x^2 > 0$

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$x^2 - x - 12 < 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - x - 12 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а их произведение равно -12. Отсюда находим корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = -3$.
Графиком функции $f(x) = x^2 - x - 12$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, функция принимает отрицательные значения на интервале между корнями.

Таким образом, решением неравенства является интервал $(-3; 4)$, что и является областью определения исходной функции.

Ответ: $(-3; 4)$.

4. Решите графически систему уравнений $ \begin{cases} y = 2x - x^2, \\ 2x + y = 3. \end{cases} $

Для графического решения системы уравнений необходимо построить графики для каждого уравнения в одной системе координат. Координаты точек пересечения этих графиков будут являться решениями системы.

Построение графика $y = 2x - x^2$

Это уравнение квадратичной функции, график которой — парабола. Для удобства перепишем его в виде $y = -x^2 + 2x$.

Поскольку коэффициент при $x^2$ отрицательный (равен -1), ветви параболы направлены вниз.

Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1$.
$y_v = 2(1) - (1)^2 = 2 - 1 = 1$.
Таким образом, вершина параболы находится в точке $(1, 1)$.

Найдем точки пересечения параболы с осями координат:
С осью Oy (при $x=0$): $y = 2(0) - 0^2 = 0$. Точка $(0, 0)$.
С осью Ox (при $y=0$): $2x - x^2 = 0 \Rightarrow x(2-x) = 0$. Отсюда $x_1=0$, $x_2=2$. Точки $(0, 0)$ и $(2, 0)$.

Для более точного построения найдем еще несколько точек:
При $x = 3$, $y = 2(3) - 3^2 = 6 - 9 = -3$. Точка $(3, -3)$.
При $x = -1$, $y = 2(-1) - (-1)^2 = -2 - 1 = -3$. Точка $(-1, -3)$.

Построение графика $2x + y = 3$

Это уравнение линейной функции, ее график — прямая. Выразим $y$ для удобства построения: $y = 3 - 2x$.

Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых ее точек:
При $x=0$, $y = 3 - 2(0) = 3$. Точка $(0, 3)$.
При $x=1$, $y = 3 - 2(1) = 1$. Точка $(1, 1)$.

Нахождение решения системы

Построим параболу $y = 2x - x^2$ и прямую $y = 3 - 2x$ в одной системе координат. Точки, в которых графики пересекаются, являются решениями системы.

Из построения видно, что графики пересекаются в двух точках. Определим их координаты. Это точки $(1, 1)$ и $(3, -3)$.

Для уверенности выполним проверку, подставив координаты этих точек в оба уравнения системы.

Проверка для точки $(1, 1)$:
$1 = 2(1) - 1^2 \implies 1 = 2 - 1 \implies 1 = 1$ (верно).
$2(1) + 1 = 3 \implies 2 + 1 = 3 \implies 3 = 3$ (верно).

Проверка для точки $(3, -3)$:
$-3 = 2(3) - 3^2 \implies -3 = 6 - 9 \implies -3 = -3$ (верно).
$2(3) + (-3) = 3 \implies 6 - 3 = 3 \implies 3 = 3$ (верно).

Обе пары чисел являются решениями системы.

Ответ: $(1, 1), (3, -3)$.

5. При каких значениях $a$ уравнение $x^2 + 8ax - 15a + 1 = 0$ имеет два действительных корня?

Данное уравнение является квадратным уравнением вида $Ax^2 + Bx + C = 0$. Чтобы оно имело два действительных (и различных) корня, его дискриминант $D$ должен быть строго больше нуля ($D > 0$).

Определим коэффициенты уравнения $x^2 + 8ax - 15a + 1 = 0$:

• $A = 1$
• $B = 8a$
• $C = -15a + 1$

Теперь вычислим дискриминант по формуле $D = B^2 - 4AC$:

$D = (8a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15a + 1)$

$D = 64a^2 - 4(-15a + 1)$

$D = 64a^2 + 60a - 4$

Теперь решим неравенство $D > 0$:

$64a^2 + 60a - 4 > 0$

Для удобства разделим все члены неравенства на 4:

$16a^2 + 15a - 1 > 0$

Чтобы решить это квадратное неравенство, найдем корни соответствующего уравнения $16a^2 + 15a - 1 = 0$.

Вычислим дискриминант для этого уравнения (относительно переменной $a$):

$D_a = 15^2 - 4 \cdot 16 \cdot (-1) = 225 + 64 = 289 = 17^2$

Найдем корни:

$a_1 = \frac{-15 - \sqrt{289}}{2 \cdot 16} = \frac{-15 - 17}{32} = \frac{-32}{32} = -1$

$a_2 = \frac{-15 + \sqrt{289}}{2 \cdot 16} = \frac{-15 + 17}{32} = \frac{2}{32} = \frac{1}{16}$

Мы решаем неравенство $16a^2 + 15a - 1 > 0$. Графиком функции $y = 16a^2 + 15a - 1$ является парабола с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $a^2$ положителен). Значения функции будут положительными (больше нуля) вне интервала между корнями.

Следовательно, решение неравенства:

$a < -1$ или $a > \frac{1}{16}$

Это можно записать в виде объединения интервалов: $a \in (-\infty; -1) \cup (\frac{1}{16}; +\infty)$.

Ответ: $a \in (-\infty; -1) \cup (\frac{1}{16}; +\infty)$.

6. Решите систему уравнений $ \begin{cases} x^2 - 4xy + 4y^2 = 25, \\ x + 2y = 3. \end{cases} $

Преобразуем первое уравнение системы $x^2 - 4xy + 4y^2 = 25$. Левая часть этого уравнения представляет собой полный квадрат разности, который можно свернуть по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В нашем случае это $(x - 2y)^2$.

Таким образом, первое уравнение принимает вид: $(x - 2y)^2 = 25$.

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два возможных равенства: $x - 2y = 5$ или $x - 2y = -5$.

Теперь необходимо решить две системы уравнений, используя второе уравнение из исходного условия $x + 2y = 3$.

1) Решим первую систему:

$$ \begin{cases} x - 2y = 5 \\ x + 2y = 3 \end{cases} $$

Сложим уравнения системы: $(x - 2y) + (x + 2y) = 5 + 3$, что приводит к $2x = 8$, и, следовательно, $x = 4$.

Подставим $x = 4$ во второе уравнение $x + 2y = 3$: $4 + 2y = 3$, откуда $2y = -1$ и $y = -0.5$.

Первое решение: $(4; -0.5)$.

2) Решим вторую систему:

$$ \begin{cases} x - 2y = -5 \\ x + 2y = 3 \end{cases} $$

Сложим уравнения системы: $(x - 2y) + (x + 2y) = -5 + 3$, что приводит к $2x = -2$, и, следовательно, $x = -1$.

Подставим $x = -1$ во второе уравнение $x + 2y = 3$: $-1 + 2y = 3$, откуда $2y = 4$ и $y = 2$.

Второе решение: $(-1; 2)$.

Ответ: $(4; -0.5), (-1; 2)$.