Номер 5, страница 118 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

5. При каких значениях $a$ уравнение $x^2 + 8ax - 15a + 1 = 0$ имеет два действительных корня?

Данное уравнение является квадратным уравнением вида $Ax^2 + Bx + C = 0$. Чтобы оно имело два действительных (и различных) корня, его дискриминант $D$ должен быть строго больше нуля ($D > 0$).

Определим коэффициенты уравнения $x^2 + 8ax - 15a + 1 = 0$:

• $A = 1$
• $B = 8a$
• $C = -15a + 1$

Теперь вычислим дискриминант по формуле $D = B^2 - 4AC$:

$D = (8a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15a + 1)$

$D = 64a^2 - 4(-15a + 1)$

$D = 64a^2 + 60a - 4$

Теперь решим неравенство $D > 0$:

$64a^2 + 60a - 4 > 0$

Для удобства разделим все члены неравенства на 4:

$16a^2 + 15a - 1 > 0$

Чтобы решить это квадратное неравенство, найдем корни соответствующего уравнения $16a^2 + 15a - 1 = 0$.

Вычислим дискриминант для этого уравнения (относительно переменной $a$):

$D_a = 15^2 - 4 \cdot 16 \cdot (-1) = 225 + 64 = 289 = 17^2$

Найдем корни:

$a_1 = \frac{-15 - \sqrt{289}}{2 \cdot 16} = \frac{-15 - 17}{32} = \frac{-32}{32} = -1$

$a_2 = \frac{-15 + \sqrt{289}}{2 \cdot 16} = \frac{-15 + 17}{32} = \frac{2}{32} = \frac{1}{16}$

Мы решаем неравенство $16a^2 + 15a - 1 > 0$. Графиком функции $y = 16a^2 + 15a - 1$ является парабола с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $a^2$ положителен). Значения функции будут положительными (больше нуля) вне интервала между корнями.

Следовательно, решение неравенства:

$a < -1$ или $a > \frac{1}{16}$

Это можно записать в виде объединения интервалов: $a \in (-\infty; -1) \cup (\frac{1}{16}; +\infty)$.

Ответ: $a \in (-\infty; -1) \cup (\frac{1}{16}; +\infty)$.