Номер 6, страница 119 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

6. От станции A в направлении станции B, расстояние между которыми равно 240 км, отправились одновременно два поезда. Первый поезд прибыл на станцию B на 1 ч раньше второго. Найдите скорость каждого поезда, если второй проходит за 2 ч на 40 км больше, чем первый — за 1 ч.

Пусть $v_1$ км/ч — скорость первого поезда, а $v_2$ км/ч — скорость второго поезда.

Расстояние между станциями A и B равно $S = 240$ км. Время в пути для первого поезда $t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{240}{v_1}$ ч, а для второго — $t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{240}{v_2}$ ч.

Согласно условию, первый поезд прибыл на 1 час раньше второго, что означает $t_2 - t_1 = 1$. Это дает нам первое уравнение:

$\frac{240}{v_2} - \frac{240}{v_1} = 1$

Также известно, что второй поезд за 2 часа проходит на 40 км больше, чем первый за 1 час. Расстояние, пройденное вторым поездом за 2 часа, равно $2 \cdot v_2$. Расстояние, пройденное первым поездом за 1 час, равно $1 \cdot v_1$. Это дает нам второе уравнение:

$2v_2 = v_1 + 40$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases}\frac{240}{v_2} - \frac{240}{v_1} = 1 \\2v_2 = v_1 + 40\end{cases}$

Из второго уравнения выразим $v_1$:

$v_1 = 2v_2 - 40$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$\frac{240}{v_2} - \frac{240}{2v_2 - 40} = 1$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $v_2(2v_2 - 40)$:

$\frac{240(2v_2 - 40) - 240v_2}{v_2(2v_2 - 40)} = 1$

Умножим обе части на знаменатель, при условии что $v_2 \neq 0$ и $2v_2 - 40 \neq 0$ (т.е. $v_2 \neq 20$):

$240(2v_2 - 40) - 240v_2 = v_2(2v_2 - 40)$

Раскроем скобки и упростим:

$480v_2 - 9600 - 240v_2 = 2v_2^2 - 40v_2$

$240v_2 - 9600 = 2v_2^2 - 40v_2$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$2v_2^2 - 40v_2 - 240v_2 + 9600 = 0$

$2v_2^2 - 280v_2 + 9600 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2:

$v_2^2 - 140v_2 + 4800 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение, найдя дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-140)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4800 = 19600 - 19200 = 400$

$\sqrt{D} = \sqrt{400} = 20$

Уравнение имеет два корня:

$v_{2,1} = \frac{140 + 20}{2} = \frac{160}{2} = 80$

$v_{2,2} = \frac{140 - 20}{2} = \frac{120}{2} = 60$

Оба значения скорости являются положительными и физически возможными. Найдем для каждого из них соответствующую скорость первого поезда $v_1$ и выполним проверку.

1. Если $v_2 = 80$ км/ч, то скорость первого поезда: $v_1 = 2 \cdot 80 - 40 = 160 - 40 = 120$ км/ч.
Проверка: разница во времени прибытия $\frac{240}{80} - \frac{240}{120} = 3 - 2 = 1$ час; разница в расстоянии $2 \cdot 80 - 1 \cdot 120 = 160 - 120 = 40$ км. Все условия выполнены.

2. Если $v_2 = 60$ км/ч, то скорость первого поезда: $v_1 = 2 \cdot 60 - 40 = 120 - 40 = 80$ км/ч.
Проверка: разница во времени прибытия $\frac{240}{60} - \frac{240}{80} = 4 - 3 = 1$ час; разница в расстоянии $2 \cdot 60 - 1 \cdot 80 = 120 - 80 = 40$ км. Все условия выполнены.

Таким образом, задача имеет два решения.

Ответ: скорость первого поезда 120 км/ч, скорость второго поезда 80 км/ч; или скорость первого поезда 80 км/ч, скорость второго поезда 60 км/ч.