Страница 119 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

1. Вкладчик положил в банк 60 000 р. под 8 % годовых.
Сколько денег будет на его счёте через 2 года?

1.

Эта задача на вычисление сложных процентов, так как проценты, начисленные за первый год, прибавляются к основной сумме, и на второй год проценты начисляются уже на эту увеличенную сумму. Расчет можно провести по шагам или по формуле сложных процентов.

Способ 1: Пошаговый расчет

1. Найдем сумму на счете через 1 год.

Сначала вычислим сумму процентов, которая будет начислена за первый год. 8% от 60 000 рублей:

$60\ 000 \cdot \frac{8}{100} = 60\ 000 \cdot 0,08 = 4\ 800$ р.

Теперь прибавим эту сумму к начальному вкладу, чтобы узнать, сколько денег будет на счете через год:

$60\ 000 + 4\ 800 = 64\ 800$ р.

2. Найдем сумму на счете через 2 года.

На второй год 8% будут начисляться уже на новую сумму, то есть на 64 800 рублей:

$64\ 800 \cdot \frac{8}{100} = 64\ 800 \cdot 0,08 = 5\ 184$ р.

Прибавим проценты за второй год к сумме, которая была на счете в начале второго года:

$64\ 800 + 5\ 184 = 69\ 984$ р.

Способ 2: По формуле сложных процентов

Итоговую сумму $S$ можно рассчитать по формуле:

$S = P \cdot (1 + \frac{r}{100})^n$

где:

• $P$ – первоначальная сумма вклада (60 000 р.),
• $r$ – годовая процентная ставка (8%),
• $n$ – срок вклада в годах (2 года).

Подставим наши значения в формулу:

$S = 60\ 000 \cdot (1 + \frac{8}{100})^2 = 60\ 000 \cdot (1 + 0,08)^2 = 60\ 000 \cdot (1,08)^2$

$S = 60\ 000 \cdot 1,1664 = 69\ 984$ р.

Ответ: через 2 года на счете будет 69 984 рубля.

2. Найдите абсолютную погрешность приближения числа $ \frac{2}{3} $ числом 0,67.

Абсолютная погрешность приближения — это модуль разности между точным значением и его приближённым значением. Если $x$ — точное значение, а $a$ — приближённое, то абсолютная погрешность $\Delta$ равна $\Delta = |x - a|$.

В данной задаче точным значением является число $x = \frac{2}{3}$, а его приближённым значением — число $a = 0,67$.

Вычислим абсолютную погрешность, подставив значения в формулу:

$\Delta = |\frac{2}{3} - 0,67|$

Для того чтобы выполнить вычитание, представим десятичную дробь $0,67$ в виде обыкновенной дроби: $0,67 = \frac{67}{100}$.

$\Delta = |\frac{2}{3} - \frac{67}{100}|$

Теперь приведём дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел $3$ и $100$ равен $300$.

$\Delta = |\frac{2 \times 100}{3 \times 100} - \frac{67 \times 3}{100 \times 3}| = |\frac{200}{300} - \frac{201}{300}|$

Выполним вычитание дробей:

$\Delta = |-\frac{1}{300}|$

Модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу:

$\Delta = \frac{1}{300}$

Ответ: $\frac{1}{300}$.

3. Сколько нечётных четырёхзначных чисел, все цифры которых различны, можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 5 и 6?

Для решения этой задачи воспользуемся правилом произведения из комбинаторики. Нам необходимо составить четырёхзначное число, которое удовлетворяет трём условиям: оно нечётное, все его цифры различны, и цифры взяты из набора {1, 2, 3, 5, 6}.

Будем определять количество возможных вариантов для каждого из четырёх разрядов числа, начиная с позиции, на которую наложено наиболее строгое ограничение.

Последняя цифра (разряд единиц): Так как число должно быть нечётным, последней цифрой может быть только одна из нечётных цифр в данном наборе: 1, 3 или 5. Таким образом, у нас есть 3 варианта для выбора последней цифры.

Первая цифра (разряд тысяч): Цифры в числе не должны повторяться. Одну цифру мы уже выбрали для разряда единиц. Всего в наборе 5 цифр, значит, для выбора первой цифры остаётся $5 - 1 = 4$ варианта.

Вторая цифра (разряд сотен): Две цифры уже использованы (для тысяч и единиц). Следовательно, для разряда сотен остаётся $5 - 2 = 3$ варианта.

Третья цифра (разряд десятков): Три цифры уже заняты. Для разряда десятков остаётся $5 - 3 = 2$ варианта.

Чтобы найти общее количество таких чисел, нужно перемножить количество вариантов для каждого разряда:

$N = 3 \times 4 \times 3 \times 2 = 72$

Следовательно, можно составить 72 нечётных четырёхзначных числа с различными цифрами из заданного набора.

Ответ: 72

4. Найдите среднее значение, моду, медиану и размах совокупности данных: 3, 5, 11, 8, 8, 4, 8, 5.

Дана совокупность данных: 3, 5, 11, 8, 8, 4, 8, 5.
Для нахождения медианы и размаха необходимо упорядочить данные по возрастанию: 3, 4, 5, 5, 8, 8, 8, 11.

Среднее значение (среднее арифметическое) — это сумма всех чисел в наборе, деленная на их количество. Всего в наборе 8 чисел.
Найдем сумму всех чисел: $3 + 4 + 5 + 5 + 8 + 8 + 8 + 11 = 52$.
Разделим сумму на количество чисел: $\frac{52}{8} = 6.5$.
Ответ: 6,5.

Мода — это значение, которое встречается в наборе данных чаще других.
В ряду 3, 4, 5, 5, 8, 8, 8, 11 число 8 встречается 3 раза, что чаще любого другого числа.
Ответ: 8.

Медиана — это значение, которое делит упорядоченный набор данных пополам.
Поскольку в наборе четное количество чисел (8), медиана вычисляется как среднее арифметическое двух центральных значений. В упорядоченном ряду (3, 4, 5, 5, 8, 8, 8, 11) это четвертое (5) и пятое (8) числа.
Найдем их среднее арифметическое: $\frac{5 + 8}{2} = \frac{13}{2} = 6.5$.
Ответ: 6,5.

Размах — это разность между наибольшим и наименьшим значениями в наборе данных.
Наибольшее значение в наборе — 11.
Наименьшее значение в наборе — 3.
Найдем разность: $11 - 3 = 8$.
Ответ: 8.

5. В коробке лежат 12 карточек, пронумерованных числами от 1 до 12. Какова вероятность того, что на карточке, вынутой наугад, будет записано число, которое:

1) кратно числу 4;

2) не кратно ни числу 2, ни числу 3?

По условию задачи, в коробке лежат 12 карточек с номерами от 1 до 12. Общее число равновозможных исходов при вытягивании одной карточки равно $n = 12$.

1) кратно числу 4;

Пусть A — событие, при котором на вынутой карточке записано число, кратное 4.

Найдем количество благоприятных исходов для события A. Это числа от 1 до 12, которые делятся на 4 без остатка.

Такими числами являются: 4, 8, 12.

Таким образом, число благоприятных исходов $m = 3$.

Вероятность события A находится по формуле классической вероятности: $P(A) = \frac{m}{n}$.

$P(A) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$.

2) не кратно ни числу 2, ни числу 3?

Пусть B — событие, при котором на вынутой карточке записано число, не кратное ни числу 2, ни числу 3.

Найдем количество благоприятных исходов для события B. Для этого выпишем все числа от 1 до 12 и вычеркнем те, что делятся на 2 или на 3.

Ряд чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.

Числа, кратные 2: 2, 4, 6, 8, 10, 12.

Числа, кратные 3: 3, 6, 9, 12.

Числа, которые не кратны ни 2, ни 3, это те, которые не попали в списки выше. Это числа: 1, 5, 7, 11.

Таким образом, число благоприятных исходов $m = 4$.

Вероятность события B находится по формуле: $P(B) = \frac{m}{n}$.

$P(B) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

6. От станции A в направлении станции B, расстояние между которыми равно 240 км, отправились одновременно два поезда. Первый поезд прибыл на станцию B на 1 ч раньше второго. Найдите скорость каждого поезда, если второй проходит за 2 ч на 40 км больше, чем первый — за 1 ч.

Пусть $v_1$ км/ч — скорость первого поезда, а $v_2$ км/ч — скорость второго поезда.

Расстояние между станциями A и B равно $S = 240$ км. Время в пути для первого поезда $t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{240}{v_1}$ ч, а для второго — $t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{240}{v_2}$ ч.

Согласно условию, первый поезд прибыл на 1 час раньше второго, что означает $t_2 - t_1 = 1$. Это дает нам первое уравнение:

$\frac{240}{v_2} - \frac{240}{v_1} = 1$

Также известно, что второй поезд за 2 часа проходит на 40 км больше, чем первый за 1 час. Расстояние, пройденное вторым поездом за 2 часа, равно $2 \cdot v_2$. Расстояние, пройденное первым поездом за 1 час, равно $1 \cdot v_1$. Это дает нам второе уравнение:

$2v_2 = v_1 + 40$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases}\frac{240}{v_2} - \frac{240}{v_1} = 1 \\2v_2 = v_1 + 40\end{cases}$

Из второго уравнения выразим $v_1$:

$v_1 = 2v_2 - 40$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$\frac{240}{v_2} - \frac{240}{2v_2 - 40} = 1$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $v_2(2v_2 - 40)$:

$\frac{240(2v_2 - 40) - 240v_2}{v_2(2v_2 - 40)} = 1$

Умножим обе части на знаменатель, при условии что $v_2 \neq 0$ и $2v_2 - 40 \neq 0$ (т.е. $v_2 \neq 20$):

$240(2v_2 - 40) - 240v_2 = v_2(2v_2 - 40)$

Раскроем скобки и упростим:

$480v_2 - 9600 - 240v_2 = 2v_2^2 - 40v_2$

$240v_2 - 9600 = 2v_2^2 - 40v_2$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$2v_2^2 - 40v_2 - 240v_2 + 9600 = 0$

$2v_2^2 - 280v_2 + 9600 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2:

$v_2^2 - 140v_2 + 4800 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение, найдя дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-140)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4800 = 19600 - 19200 = 400$

$\sqrt{D} = \sqrt{400} = 20$

Уравнение имеет два корня:

$v_{2,1} = \frac{140 + 20}{2} = \frac{160}{2} = 80$

$v_{2,2} = \frac{140 - 20}{2} = \frac{120}{2} = 60$

Оба значения скорости являются положительными и физически возможными. Найдем для каждого из них соответствующую скорость первого поезда $v_1$ и выполним проверку.

1. Если $v_2 = 80$ км/ч, то скорость первого поезда: $v_1 = 2 \cdot 80 - 40 = 160 - 40 = 120$ км/ч.
Проверка: разница во времени прибытия $\frac{240}{80} - \frac{240}{120} = 3 - 2 = 1$ час; разница в расстоянии $2 \cdot 80 - 1 \cdot 120 = 160 - 120 = 40$ км. Все условия выполнены.

2. Если $v_2 = 60$ км/ч, то скорость первого поезда: $v_1 = 2 \cdot 60 - 40 = 120 - 40 = 80$ км/ч.
Проверка: разница во времени прибытия $\frac{240}{60} - \frac{240}{80} = 4 - 3 = 1$ час; разница в расстоянии $2 \cdot 60 - 1 \cdot 80 = 120 - 80 = 40$ км. Все условия выполнены.

Таким образом, задача имеет два решения.

Ответ: скорость первого поезда 120 км/ч, скорость второго поезда 80 км/ч; или скорость первого поезда 80 км/ч, скорость второго поезда 60 км/ч.

7. Цену товара сначала снизили на 20 %, а затем повысили на 30 %. Как и на сколько процентов изменилась первоначальная цена вследствие этих двух переоценок?

Пусть первоначальная цена товара составляет $x$ условных единиц. Эту цену можно принять за 100%.

1. Снижение цены на 20%
Сначала цену снизили на 20%. Новая цена составит $100\% - 20\% = 80\%$ от первоначальной. Чтобы найти новую цену, умножим первоначальную цену на десятичное представление этого процента (0.8):
$x_1 = x \cdot (1 - \frac{20}{100}) = x \cdot 0.8 = 0.8x$

2. Повышение цены на 30%
Затем новую цену ($0.8x$) повысили на 30%. Теперь за 100% принимается именно эта новая цена. Итоговая цена составит $100\% + 30\% = 130\%$ от цены после снижения. Вычислим итоговую цену:
$x_2 = x_1 \cdot (1 + \frac{30}{100}) = (0.8x) \cdot 1.3 = 1.04x$

3. Сравнение итоговой и первоначальной цены
Первоначальная цена была $x$, а итоговая стала $1.04x$. Чтобы найти, на сколько процентов изменилась цена, можно найти отношение итоговой цены к первоначальной и перевести в проценты:
$\frac{1.04x}{x} = 1.04$
Это означает, что итоговая цена составляет 104% от первоначальной. Найдем разницу:
$104\% - 100\% = 4\%$
Так как результат положительный, цена увеличилась.

Ответ: первоначальная цена увеличилась на 4%.

8. В коробке лежат шары, из которых 16 — белые, а остальные — красные. Сколько в коробке красных шаров, если вероятность того, что выбранный наугад шар окажется красным, равна $\frac{5}{9}$?

Пусть $x$ — количество красных шаров в коробке. По условию, в коробке 16 белых шаров. Тогда общее количество шаров в коробке равно $16 + x$.

Вероятность события вычисляется по формуле $P = \frac{m}{n}$, где $m$ — число благоприятных исходов, а $n$ — общее число равновозможных исходов.

В данном случае событие — это выбор красного шара. Число благоприятных исходов (количество красных шаров) равно $x$. Общее число исходов (общее количество шаров) равно $16 + x$.

Вероятность того, что выбранный шар окажется красным, равна $\frac{x}{16 + x}$. Из условия задачи известно, что эта вероятность равна $\frac{5}{9}$. Составим уравнение:

$\frac{x}{16 + x} = \frac{5}{9}$

Для решения уравнения воспользуемся свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$9 \cdot x = 5 \cdot (16 + x)$

Раскроем скобки и решим уравнение:

$9x = 80 + 5x$
$9x - 5x = 80$
$4x = 80$
$x = \frac{80}{4}$
$x = 20$

Таким образом, в коробке 20 красных шаров.

Ответ: 20

9. Число 7 составляет от положительного числа $x$ столько же процентов, сколько число $x$ составляет от числа 28.

Найдите число $x$.

Пусть искомый процент равен $p\%$.

Согласно условию задачи, "число 7 составляет от положительного числа x столько же процентов". Это можно выразить формулой:
$p = \frac{7}{x} \cdot 100$

Далее в условии сказано: "...сколько число x составляет от числа 28". Это можно выразить второй формулой:
$p = \frac{x}{28} \cdot 100$

Так как в обоих случаях речь идет об одном и том же проценте $p$, мы можем приравнять правые части этих двух выражений:
$\frac{7}{x} \cdot 100 = \frac{x}{28} \cdot 100$

Сократим обе части уравнения на 100:
$\frac{7}{x} = \frac{x}{28}$

Теперь решим полученную пропорцию, используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):
$x \cdot x = 7 \cdot 28$
$x^2 = 196$

Найдем $x$, извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения:
$x = \sqrt{196}$
$x_1 = 14$ и $x_2 = -14$

По условию задачи, $x$ - положительное число, поэтому нам подходит только корень $x = 14$.

Ответ: 14