Страница 115 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

1. Решите неравенство $7(2x - 3) \le 10x + 19$.

Для решения данного линейного неравенства необходимо выполнить следующие действия. Сначала раскроем скобки в левой части неравенства, умножив 7 на каждый член в скобках:

$7 \cdot 2x - 7 \cdot 3 \leq 10x + 19$

$14x - 21 \leq 10x + 19$

Далее, сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части неравенства, а свободные члены (числа) — в правой. При переносе слагаемого из одной части неравенства в другую его знак меняется на противоположный.

$14x - 10x \leq 19 + 21$

Теперь приведем подобные слагаемые в каждой части неравенства:

$4x \leq 40$

Чтобы найти $x$, разделим обе части неравенства на 4. Поскольку 4 — положительное число, знак неравенства при делении не изменяется:

$\frac{4x}{4} \leq \frac{40}{4}$

$x \leq 10$

Таким образом, решением неравенства является множество всех чисел, которые меньше или равны 10. В виде числового промежутка это записывается как $(-\infty; 10]$.

Ответ: $x \in (-\infty; 10]$.

2. Постройте график функции $y = 5 + 4x - x^2$. Пользуясь графиком, найдите:

1) промежуток возрастания функции;

2) множество решений неравенства $5 + 4x - x^2 \ge 0$.

Для построения графика функции $y = 5 + 4x - x^2$ выполним следующие шаги:

1. Определим вид графика. Данная функция является квадратичной ($y = ax^2 + bx + c$), ее график — парабола. Перепишем функцию в стандартном виде: $y = -x^2 + 4x + 5$. Так как коэффициент при $x^2$ равен $a = -1$, что меньше нуля ($a < 0$), ветви параболы направлены вниз.

2. Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$.

   Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$.

   $x_v = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = -\frac{4}{-2} = 2$.

   Ордината вершины — это значение функции в точке $x_v=2$.

   $y_v = -(2)^2 + 4 \cdot 2 + 5 = -4 + 8 + 5 = 9$.

   Таким образом, вершина параболы находится в точке $(2, 9)$. Ось симметрии параболы — прямая $x=2$.

3. Найдем точки пересечения графика с осями координат.

   С осью OY (осью ординат): для этого подставим $x=0$ в уравнение функции.

   $y(0) = -0^2 + 4 \cdot 0 + 5 = 5$.

   Точка пересечения с осью OY: $(0, 5)$.

   С осью OX (осью абсцисс): для этого приравняем функцию к нулю, $y=0$.

   $-x^2 + 4x + 5 = 0$.

   Умножим обе части на -1 для удобства: $x^2 - 4x - 5 = 0$.

   Решим квадратное уравнение через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$. $\sqrt{D} = 6$.

   $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - 6}{2 \cdot 1} = \frac{-2}{2} = -1$.

   $x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 6}{2 \cdot 1} = \frac{10}{2} = 5$.

   Точки пересечения с осью OX: $(-1, 0)$ и $(5, 0)$.

4. Используя найденные ключевые точки (вершина $(2, 9)$, точки пересечения с осями $(-1, 0)$, $(5, 0)$ и $(0, 5)$), строим параболу с ветвями, направленными вниз.

Теперь, пользуясь построенным графиком, ответим на вопросы.

1) промежуток возрастания функции;

Функция возрастает на том промежутке, где ее график идет вверх при движении слева направо. Для параболы с ветвями вниз это происходит на луче левее ее вершины. Вершина параболы имеет абсциссу $x = 2$. Следовательно, функция возрастает на промежутке от $-\infty$ до $2$ включительно.

Ответ: $(-\infty; 2]$.

2) множество решений неравенства 5 + 4x - x² ≥ 0.

Решить неравенство $5 + 4x - x^2 \ge 0$ означает найти все значения $x$, при которых график функции $y = 5 + 4x - x^2$ находится на оси OX или выше нее ($y \ge 0$). Из графика видно, что это происходит на отрезке между точками пересечения с осью OX. Точки пересечения с осью OX (нули функции) — это $x = -1$ и $x = 5$. Поскольку ветви параболы направлены вниз, значения функции неотрицательны между этими корнями, включая сами корни.

Ответ: $[-1; 5]$.

3. Решите систему уравнений $\begin{cases} x - y = 3, \\ x^2 - xy - 2y^2 = 7. \end{cases}$

Для решения данной системы уравнений воспользуемся методом подстановки.

$\begin{cases} x - y = 3, \\ x^2 - xy - 2y^2 = 7. \end{cases}$

Выразим $x$ из первого уравнения

Из первого (линейного) уравнения $x - y = 3$ выразим переменную $x$ через $y$:

$x = y + 3$

Подставим выражение для $x$ во второе уравнение

Теперь подставим $x = y + 3$ во второе уравнение системы $x^2 - xy - 2y^2 = 7$ и решим полученное уравнение относительно $y$:

$(y + 3)^2 - (y + 3)y - 2y^2 = 7$

Раскроем скобки:

$(y^2 + 6y + 9) - (y^2 + 3y) - 2y^2 = 7$

Приведём подобные слагаемые:

$y^2 + 6y + 9 - y^2 - 3y - 2y^2 = 7$

$-2y^2 + 3y + 9 = 7$

Перенесём все слагаемые в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение стандартного вида:

$-2y^2 + 3y + 2 = 0$

Умножим обе части уравнения на $-1$ для удобства последующих вычислений:

$2y^2 - 3y - 2 = 0$

Решим квадратное уравнение

Найдём корни полученного квадратного уравнения с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдём их по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$y_1 = \frac{3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$y_2 = \frac{3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Найдем соответствующие значения $x$

Теперь найдём соответствующие значения $x$ для каждого найденного значения $y$, используя ранее полученное выражение $x = y + 3$.

Для $y_1 = 2$:

$x_1 = 2 + 3 = 5$

Первое решение системы: $(5; 2)$.

Для $y_2 = -\frac{1}{2}$:

$x_2 = -\frac{1}{2} + 3 = -\frac{1}{2} + \frac{6}{2} = \frac{5}{2}$

Второе решение системы: $(\frac{5}{2}; -\frac{1}{2})$.

Ответ: $(5; 2)$, $(\frac{5}{2}; -\frac{1}{2})$.

4. Найдите сумму двадцати первых членов арифметической прогрессии $(a_n)$, если $a_5 = -0.8$, $a_{11} = -5$.

Для начала найдём первый член $a_1$ и разность $d$ арифметической прогрессии $(a_n)$. Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Нам даны пятый и одиннадцатый члены прогрессии:
$a_5 = a_1 + (5-1)d = a_1 + 4d = -0,8$
$a_{11} = a_1 + (11-1)d = a_1 + 10d = -5$

Получаем систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
$\begin{cases} a_1 + 4d = -0,8 \\ a_1 + 10d = -5 \end{cases}$

Вычтем из второго уравнения первое, чтобы найти разность $d$:
$(a_1 + 10d) - (a_1 + 4d) = -5 - (-0,8)$
$6d = -4,2$
$d = \frac{-4,2}{6} = -0,7$

Теперь подставим найденное значение $d$ в первое уравнение, чтобы найти $a_1$:
$a_1 + 4(-0,7) = -0,8$
$a_1 - 2,8 = -0,8$
$a_1 = -0,8 + 2,8 = 2$

Итак, мы нашли параметры прогрессии: $a_1 = 2$ и $d = -0,7$. Общий вид члена прогрессии: $a_n = 2 + (n-1)(-0,7) = 2 - 0,7n + 0,7 = 2,7 - 0,7n$.

Теперь нам нужно найти сумму квадратов первых двадцати членов прогрессии, то есть величину $S = \sum_{n=1}^{20} a_n^2$.
$S = \sum_{n=1}^{20} (2,7 - 0,7n)^2$

Раскроем квадрат под знаком суммы:
$(2,7 - 0,7n)^2 = 2,7^2 - 2 \cdot 2,7 \cdot 0,7n + (0,7n)^2 = 7,29 - 3,78n + 0,49n^2$

Теперь просуммируем это выражение от $n=1$ до $20$:
$S = \sum_{n=1}^{20} (7,29 - 3,78n + 0,49n^2) = \sum_{n=1}^{20} 7,29 - \sum_{n=1}^{20} 3,78n + \sum_{n=1}^{20} 0,49n^2$
$S = 20 \cdot 7,29 - 3,78 \sum_{n=1}^{20} n + 0,49 \sum_{n=1}^{20} n^2$

Используем формулы для суммы первых $N$ натуральных чисел и суммы их квадратов:
$\sum_{n=1}^{N} n = \frac{N(N+1)}{2}$
$\sum_{n=1}^{N} n^2 = \frac{N(N+1)(2N+1)}{6}$

Для $N=20$:
$\sum_{n=1}^{20} n = \frac{20(20+1)}{2} = \frac{20 \cdot 21}{2} = 210$
$\sum_{n=1}^{20} n^2 = \frac{20(20+1)(2 \cdot 20+1)}{6} = \frac{20 \cdot 21 \cdot 41}{6} = 10 \cdot 7 \cdot 41 = 2870$

Подставим эти значения в выражение для $S$:
$S = 20 \cdot 7,29 - 3,78 \cdot 210 + 0,49 \cdot 2870$
$S = 145,8 - 793,8 + 1406,3$
$S = 758,3$

Ответ: 758,3

5. Двое рабочих могут вместе выполнить некоторое задание за 4 дня. Если треть задания выполнит первый рабочий, а затем его заменит второй, то всё задание будет выполнено за 10 дней. За сколько дней может выполнить это задание каждый из них самостоятельно?

Пусть $x$ – количество дней, за которое первый рабочий может выполнить всё задание самостоятельно, а $y$ – количество дней, за которое это же задание может выполнить второй рабочий.

Тогда производительность (скорость выполнения работы) первого рабочего составляет $1/x$ задания в день, а производительность второго – $1/y$ задания в день.

Из первого условия, что двое рабочих вместе могут выполнить задание за 4 дня, следует, что их совместная производительность равна $1/4$ задания в день. Это дает нам первое уравнение:

$1/x + 1/y = 1/4$

Из второго условия, если первый рабочий выполнит треть задания, а затем второй выполнит оставшуюся часть, то на всю работу уйдет 10 дней.

Время, которое потребуется первому рабочему на выполнение $1/3$ задания, составляет: $t_1 = \frac{\text{объем работы}}{\text{производительность}} = \frac{1/3}{1/x} = x/3$ дней.

Оставшаяся часть задания равна $1 - 1/3 = 2/3$.

Время, которое потребуется второму рабочему на выполнение этой части, составляет: $t_2 = \frac{2/3}{1/y} = 2y/3$ дней.

Общее время выполнения задания равно 10 дней, что дает нам второе уравнение:

$t_1 + t_2 = x/3 + 2y/3 = 10$

Умножим обе части этого уравнения на 3, чтобы избавиться от знаменателей:

$x + 2y = 30$

Теперь мы имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} 1/x + 1/y = 1/4 \\ x + 2y = 30 \end{cases}$

Выразим $x$ из второго уравнения:

$x = 30 - 2y$

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$1/(30 - 2y) + 1/y = 1/4$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $y(30 - 2y)$:

$\frac{y + (30 - 2y)}{y(30 - 2y)} = 1/4$

$\frac{30 - y}{30y - 2y^2} = 1/4$

Воспользуемся правилом пропорции ("крест-накрест"):

$4(30 - y) = 1 \cdot (30y - 2y^2)$

$120 - 4y = 30y - 2y^2$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$2y^2 - 30y - 4y + 120 = 0$

$2y^2 - 34y + 120 = 0$

Разделим уравнение на 2 для упрощения:

$y^2 - 17y + 60 = 0$

Это квадратное уравнение можно решить, например, по теореме Виета. Сумма корней равна 17, а их произведение равно 60. Подбором находим корни:

$y_1 = 5$ и $y_2 = 12$.

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого случая, используя выражение $x = 30 - 2y$.

Случай 1. Если $y = 5$ (второй рабочий выполняет работу за 5 дней):

$x = 30 - 2(5) = 30 - 10 = 20$.

В этом случае первый рабочий выполняет работу за 20 дней.

Случай 2. Если $y = 12$ (второй рабочий выполняет работу за 12 дней):

$x = 30 - 2(12) = 30 - 24 = 6$.

В этом случае первый рабочий выполняет работу за 6 дней.

Оба варианта полностью удовлетворяют условиям задачи.

Ответ: Существует два возможных решения: первый рабочий может выполнить задание за 6 дней, а второй за 12 дней; либо первый рабочий может выполнить задание за 20 дней, а второй за 5 дней.

6. При каких значениях $a$ уравнение $x^2 + (a + 5)x + 1 = 0$ имеет два различных действительных корня?

Данное уравнение $x^2 + (a + 5)x + 1 = 0$ является квадратным уравнением общего вида $Ax^2 + Bx + C = 0$.

Для того чтобы квадратное уравнение имело два различных действительных корня, его дискриминант ($D$) должен быть строго больше нуля ($D > 0$).

Дискриминант вычисляется по формуле $D = B^2 - 4AC$.

В нашем уравнении коэффициенты равны:

$A = 1$

$B = a + 5$

$C = 1$

Подставим эти значения в формулу дискриминанта:

$D = (a + 5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = (a + 5)^2 - 4$.

Теперь решим неравенство $D > 0$ относительно переменной $a$:

$(a + 5)^2 - 4 > 0$.

Это неравенство можно решить, разложив левую часть на множители по формуле разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:

$((a + 5) - 2)((a + 5) + 2) > 0$

$(a + 3)(a + 7) > 0$.

Решим это квадратичное неравенство методом интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $(a + 3)(a + 7) = 0$. Корнями являются $a = -3$ и $a = -7$.

Нанесем эти точки на числовую ось. Они разбивают ось на три интервала: $(-\infty; -7)$, $(-7; -3)$ и $(-3; +\infty)$.

Определим знак выражения $(a + 3)(a + 7)$ на каждом из интервалов:

1. На интервале $(-\infty; -7)$, например, при $a = -8$: $(-8 + 3)(-8 + 7) = (-5)(-1) = 5$. Так как $5 > 0$, этот интервал является частью решения.

2. На интервале $(-7; -3)$, например, при $a = -5$: $(-5 + 3)(-5 + 7) = (-2)(2) = -4$. Так как $-4 < 0$, этот интервал не является частью решения.

3. На интервале $(-3; +\infty)$, например, при $a = 0$: $(0 + 3)(0 + 7) = (3)(7) = 21$. Так как $21 > 0$, этот интервал является частью решения.

Таким образом, неравенство выполняется, когда $a$ принадлежит объединению интервалов $(-\infty; -7)$ и $(-3; +\infty)$.

Ответ: $a \in (-\infty; -7) \cup (-3; +\infty)$.

7. На четырёх карточках записаны числа 5, 6, 7 и 8. Какова вероятность того, что сумма чисел, записанных на двух наугад выбранных карточках, будет нечётным числом?

Для решения задачи по теории вероятностей воспользуемся классическим определением вероятности: $P = \frac{m}{N}$, где $N$ — общее число всех равновозможных элементарных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию.

Нам даны четыре карточки с числами: 5, 6, 7, 8. Среди них два нечётных числа (5 и 7) и два чётных числа (6 и 8).

Сумма двух чисел будет нечётной только в том случае, если одно из слагаемых — чётное, а другое — нечётное.

1. Найдём общее число исходов $N$.

Общее число исходов — это количество способов выбрать 2 карточки из 4 имеющихся. Порядок выбора не важен, поэтому используем формулу для числа сочетаний:

$N = C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6$.

Всего существует 6 возможных пар чисел: (5, 6), (5, 7), (5, 8), (6, 7), (6, 8), (7, 8).

2. Найдём число благоприятных исходов $m$.

Благоприятный исход — это выбор одной нечётной и одной чётной карточки.

Число способов выбрать одну нечётную карточку из двух (5 или 7) равно $C_2^1 = 2$.

Число способов выбрать одну чётную карточку из двух (6 или 8) равно $C_2^1 = 2$.

Чтобы найти общее количество пар, состоящих из одного нечётного и одного чётного числа, нужно перемножить количество способов выбора для каждого типа чисел:

$m = C_2^1 \cdot C_2^1 = 2 \cdot 2 = 4$.

Благоприятные пары: (5, 6), (5, 8), (7, 6), (7, 8).

3. Вычислим вероятность.

Вероятность того, что сумма чисел на двух карточках будет нечётной, равна:

$P = \frac{m}{N} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$.