Номер 4, страница 115 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

4. Найдите сумму двадцати первых членов арифметической прогрессии $(a_n)$, если $a_5 = -0.8$, $a_{11} = -5$.

Для начала найдём первый член $a_1$ и разность $d$ арифметической прогрессии $(a_n)$. Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Нам даны пятый и одиннадцатый члены прогрессии:
$a_5 = a_1 + (5-1)d = a_1 + 4d = -0,8$
$a_{11} = a_1 + (11-1)d = a_1 + 10d = -5$

Получаем систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
$\begin{cases} a_1 + 4d = -0,8 \\ a_1 + 10d = -5 \end{cases}$

Вычтем из второго уравнения первое, чтобы найти разность $d$:
$(a_1 + 10d) - (a_1 + 4d) = -5 - (-0,8)$
$6d = -4,2$
$d = \frac{-4,2}{6} = -0,7$

Теперь подставим найденное значение $d$ в первое уравнение, чтобы найти $a_1$:
$a_1 + 4(-0,7) = -0,8$
$a_1 - 2,8 = -0,8$
$a_1 = -0,8 + 2,8 = 2$

Итак, мы нашли параметры прогрессии: $a_1 = 2$ и $d = -0,7$. Общий вид члена прогрессии: $a_n = 2 + (n-1)(-0,7) = 2 - 0,7n + 0,7 = 2,7 - 0,7n$.

Теперь нам нужно найти сумму квадратов первых двадцати членов прогрессии, то есть величину $S = \sum_{n=1}^{20} a_n^2$.
$S = \sum_{n=1}^{20} (2,7 - 0,7n)^2$

Раскроем квадрат под знаком суммы:
$(2,7 - 0,7n)^2 = 2,7^2 - 2 \cdot 2,7 \cdot 0,7n + (0,7n)^2 = 7,29 - 3,78n + 0,49n^2$

Теперь просуммируем это выражение от $n=1$ до $20$:
$S = \sum_{n=1}^{20} (7,29 - 3,78n + 0,49n^2) = \sum_{n=1}^{20} 7,29 - \sum_{n=1}^{20} 3,78n + \sum_{n=1}^{20} 0,49n^2$
$S = 20 \cdot 7,29 - 3,78 \sum_{n=1}^{20} n + 0,49 \sum_{n=1}^{20} n^2$

Используем формулы для суммы первых $N$ натуральных чисел и суммы их квадратов:
$\sum_{n=1}^{N} n = \frac{N(N+1)}{2}$
$\sum_{n=1}^{N} n^2 = \frac{N(N+1)(2N+1)}{6}$

Для $N=20$:
$\sum_{n=1}^{20} n = \frac{20(20+1)}{2} = \frac{20 \cdot 21}{2} = 210$
$\sum_{n=1}^{20} n^2 = \frac{20(20+1)(2 \cdot 20+1)}{6} = \frac{20 \cdot 21 \cdot 41}{6} = 10 \cdot 7 \cdot 41 = 2870$

Подставим эти значения в выражение для $S$:
$S = 20 \cdot 7,29 - 3,78 \cdot 210 + 0,49 \cdot 2870$
$S = 145,8 - 793,8 + 1406,3$
$S = 758,3$

Ответ: 758,3