Номер 6, страница 114 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

6. При каком значении $x$ значения выражений $2x + 6$, $x + 7$ и $x + 4$ будут последовательными членами геометрической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Для того чтобы три числа были последовательными членами геометрической прогрессии, необходимо, чтобы квадрат среднего числа был равен произведению двух других. Обозначим наши выражения как члены прогрессии: $b_1 = 2x + 6$, $b_2 = x + 7$ и $b_3 = x + 4$.

Согласно характеристическому свойству геометрической прогрессии, должно выполняться равенство: $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$

Подставим в это уравнение данные выражения: $(x + 7)^2 = (2x + 6)(x + 4)$

Теперь решим это уравнение. Раскроем скобки в обеих частях. В левой части используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: $x^2 + 14x + 49$

В правой части перемножим многочлены: $2x \cdot x + 2x \cdot 4 + 6 \cdot x + 6 \cdot 4 = 2x^2 + 8x + 6x + 24 = 2x^2 + 14x + 24$

Приравняем левую и правую части: $x^2 + 14x + 49 = 2x^2 + 14x + 24$

Перенесем все слагаемые в одну сторону: $2x^2 - x^2 + 14x - 14x + 24 - 49 = 0$

Упростим выражение: $x^2 - 25 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Решим его: $x^2 = 25$ $x_1 = 5$, $x_2 = -5$

Таким образом, существуют два значения $x$, при которых выражения являются последовательными членами геометрической прогрессии. Найдем эти члены для каждого значения $x$.

При $x = 5$:

Найдем члены прогрессии, подставив $x = 5$ в исходные выражения: $b_1 = 2(5) + 6 = 10 + 6 = 16$
$b_2 = 5 + 7 = 12$
$b_3 = 5 + 4 = 9$
Получилась последовательность: 16, 12, 9. Знаменатель этой прогрессии $q = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}$.

Ответ: при $x = 5$ члены прогрессии равны 16, 12, 9.

При $x = -5$:

Найдем члены прогрессии, подставив $x = -5$ в исходные выражения: $b_1 = 2(-5) + 6 = -10 + 6 = -4$
$b_2 = -5 + 7 = 2$
$b_3 = -5 + 4 = -1$
Получилась последовательность: -4, 2, -1. Знаменатель этой прогрессии $q = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2}$.

Ответ: при $x = -5$ члены прогрессии равны -4, 2, -1.