Номер 2, страница 114 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

2. Найдите пятый член и сумму четырёх первых членов геометрической прогрессии ($b_n$), если $b_1 = 27$, а знаменатель $q = \frac{1}{3}$.

По условию задачи дана геометрическая прогрессия $(b_n)$, где первый член $b_1 = 27$ и знаменатель $q = \frac{1}{3}$.

Пятый член

Формула для нахождения n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Для того чтобы найти пятый член прогрессии ($b_5$), подставим в формулу значения $n=5$, $b_1 = 27$ и $q = \frac{1}{3}$:

$b_5 = 27 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{5-1} = 27 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^4 = 27 \cdot \frac{1}{3^4} = 27 \cdot \frac{1}{81} = \frac{27}{81} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $b_5 = \frac{1}{3}$.

Сумма четырёх первых членов

Формула для нахождения суммы первых n членов геометрической прогрессии имеет вид: $S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$.

Для того чтобы найти сумму первых четырёх членов ($S_4$), подставим в формулу значения $n=4$, $b_1 = 27$ и $q = \frac{1}{3}$:

$S_4 = \frac{27 \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{3}\right)^4\right)}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{27 \cdot \left(1 - \frac{1}{81}\right)}{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}} = \frac{27 \cdot \frac{80}{81}}{\frac{2}{3}} = \frac{\frac{27 \cdot 80}{81}}{\frac{2}{3}} = \frac{\frac{80}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{80}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{80}{2} = 40$.

Альтернативный способ – найти первые четыре члена и сложить их:

$b_1 = 27$

$b_2 = b_1 \cdot q = 27 \cdot \frac{1}{3} = 9$

$b_3 = b_2 \cdot q = 9 \cdot \frac{1}{3} = 3$

$b_4 = b_3 \cdot q = 3 \cdot \frac{1}{3} = 1$

$S_4 = b_1 + b_2 + b_3 + b_4 = 27 + 9 + 3 + 1 = 40$.

Ответ: $S_4 = 40$.