Страница 114 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

1. Найдите четырнадцатый член и сумму двадцати первых членов арифметической прогрессии $ (a_n) $, если $ a_1 = 2 $ и $ a_2 = 5 $.

По условию дана арифметическая прогрессия $(a_n)$, в которой известны первый и второй члены: $a_1 = 2$ и $a_2 = 5$.

Для начала найдем разность арифметической прогрессии $d$. Разность вычисляется как разница между последующим и предыдущим членом прогрессии.

$d = a_2 - a_1 = 5 - 2 = 3$.

Нахождение четырнадцатого члена

Для нахождения n-го члена арифметической прогрессии используется формула:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

Нам нужно найти четырнадцатый член, то есть $n=14$. Подставим известные значения в формулу:

$a_{14} = a_1 + (14-1)d = 2 + 13 \cdot 3 = 2 + 39 = 41$.

Ответ: 41.

Нахождение суммы двадцати первых членов

Для нахождения суммы первых n членов арифметической прогрессии используется формула:

$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$

Нам нужно найти сумму двадцати первых членов, то есть $n=20$. Подставим известные значения ($a_1 = 2$, $d = 3$) в формулу:

$S_{20} = \frac{2 \cdot a_1 + (20-1)d}{2} \cdot 20 = \frac{2 \cdot 2 + 19 \cdot 3}{2} \cdot 20$

$S_{20} = \frac{4 + 57}{2} \cdot 20 = \frac{61}{2} \cdot 20 = 61 \cdot 10 = 610$.

Ответ: 610.

2. Найдите пятый член и сумму четырёх первых членов геометрической прогрессии ($b_n$), если $b_1 = 27$, а знаменатель $q = \frac{1}{3}$.

По условию задачи дана геометрическая прогрессия $(b_n)$, где первый член $b_1 = 27$ и знаменатель $q = \frac{1}{3}$.

Пятый член

Формула для нахождения n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Для того чтобы найти пятый член прогрессии ($b_5$), подставим в формулу значения $n=5$, $b_1 = 27$ и $q = \frac{1}{3}$:

$b_5 = 27 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{5-1} = 27 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^4 = 27 \cdot \frac{1}{3^4} = 27 \cdot \frac{1}{81} = \frac{27}{81} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $b_5 = \frac{1}{3}$.

Сумма четырёх первых членов

Формула для нахождения суммы первых n членов геометрической прогрессии имеет вид: $S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$.

Для того чтобы найти сумму первых четырёх членов ($S_4$), подставим в формулу значения $n=4$, $b_1 = 27$ и $q = \frac{1}{3}$:

$S_4 = \frac{27 \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{3}\right)^4\right)}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{27 \cdot \left(1 - \frac{1}{81}\right)}{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}} = \frac{27 \cdot \frac{80}{81}}{\frac{2}{3}} = \frac{\frac{27 \cdot 80}{81}}{\frac{2}{3}} = \frac{\frac{80}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{80}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{80}{2} = 40$.

Альтернативный способ – найти первые четыре члена и сложить их:

$b_1 = 27$

$b_2 = b_1 \cdot q = 27 \cdot \frac{1}{3} = 9$

$b_3 = b_2 \cdot q = 9 \cdot \frac{1}{3} = 3$

$b_4 = b_3 \cdot q = 3 \cdot \frac{1}{3} = 1$

$S_4 = b_1 + b_2 + b_3 + b_4 = 27 + 9 + 3 + 1 = 40$.

Ответ: $S_4 = 40$.

3. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии $28, -14, 7, ...$

Для нахождения суммы бесконечной геометрической прогрессии используется формула $S = \frac{b_1}{1 - q}$, где $S$ — это сумма прогрессии, $b_1$ — её первый член, а $q$ — её знаменатель. Эта формула справедлива только в том случае, если модуль знаменателя меньше единицы, то есть $|q| < 1$.

Дана геометрическая прогрессия: 28, -14, 7, ...

Первый член прогрессии $b_1 = 28$.

Чтобы найти знаменатель прогрессии $q$, нужно разделить любой член прогрессии на предыдущий. Например, разделим второй член на первый:

$q = \frac{-14}{28} = -\frac{1}{2}$

Теперь необходимо проверить, выполняется ли условие $|q| < 1$:

$|q| = |-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$

Поскольку $\frac{1}{2} < 1$, условие выполняется, и мы можем вычислить сумму этой бесконечной прогрессии.

Подставим значения $b_1 = 28$ и $q = -\frac{1}{2}$ в формулу суммы:

$S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{28}{1 - (-\frac{1}{2})} = \frac{28}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{28}{\frac{3}{2}}$

Для вычисления этого выражения, мы умножим числитель на дробь, обратную знаменателю:

$S = 28 \cdot \frac{2}{3} = \frac{56}{3}$

Эту дробь можно также записать в виде смешанного числа $18\frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{56}{3}$

4. Найдите номер члена арифметической прогрессии $(a_n)$, равного 7,3, если $a_1 = 10,3$, а разность прогрессии $d = -0,5$.

Для нахождения номера члена арифметической прогрессии $(a_n)$ используется формула n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_n$ — искомый член прогрессии, $a_1$ — первый член прогрессии, $d$ — разность прогрессии, и $n$ — номер искомого члена.

Согласно условию задачи, мы имеем следующие данные:

$a_n = 7,3$
$a_1 = 10,3$
$d = -0,5$

Подставим эти значения в формулу n-го члена и решим уравнение относительно $n$:

$7,3 = 10,3 + (n-1) \cdot (-0,5)$

Перенесем $10,3$ в левую часть уравнения, изменив знак:

$7,3 - 10,3 = (n-1) \cdot (-0,5)$

$-3 = (n-1) \cdot (-0,5)$

Теперь разделим обе части уравнения на $-0,5$, чтобы найти значение выражения $(n-1)$:

$n-1 = \frac{-3}{-0,5}$

$n-1 = 6$

Наконец, найдем $n$:

$n = 6 + 1$

$n = 7$

Следовательно, номер члена арифметической прогрессии, равного 7,3, есть 7.

Ответ: 7

5. Какие два числа надо вставить между числами 2,5 и 20, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию?

Пусть искомые числа это $x$ и $y$. Тогда последовательность $2,5; x; y; 20$ является геометрической прогрессией. Обозначим члены этой прогрессии как $b_1, b_2, b_3, b_4$.

По условию, первый член прогрессии $b_1 = 2,5$, а четвертый член $b_4 = 20$. Нам необходимо найти второй член $b_2 = x$ и третий член $b_3 = y$.

Формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $q$ – знаменатель прогрессии.

Для четвертого члена прогрессии ($n=4$) формула выглядит следующим образом:

$b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3$

Подставим в эту формулу известные значения $b_1$ и $b_4$, чтобы найти знаменатель прогрессии $q$:

$20 = 2,5 \cdot q^3$

Разделим обе части уравнения на 2,5:

$q^3 = \frac{20}{2,5}$

$q^3 = 8$

Чтобы найти $q$, извлечем кубический корень из 8:

$q = \sqrt[3]{8} = 2$

Теперь, зная знаменатель прогрессии $q = 2$, мы можем найти неизвестные члены $b_2$ и $b_3$.

Второй член прогрессии $b_2$:

$b_2 = b_1 \cdot q = 2,5 \cdot 2 = 5$

Третий член прогрессии $b_3$:

$b_3 = b_2 \cdot q = 5 \cdot 2 = 10$

Таким образом, искомая геометрическая прогрессия: 2,5; 5; 10; 20.

Ответ: 5 и 10.

6. При каком значении $x$ значения выражений $2x + 6$, $x + 7$ и $x + 4$ будут последовательными членами геометрической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Для того чтобы три числа были последовательными членами геометрической прогрессии, необходимо, чтобы квадрат среднего числа был равен произведению двух других. Обозначим наши выражения как члены прогрессии: $b_1 = 2x + 6$, $b_2 = x + 7$ и $b_3 = x + 4$.

Согласно характеристическому свойству геометрической прогрессии, должно выполняться равенство: $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$

Подставим в это уравнение данные выражения: $(x + 7)^2 = (2x + 6)(x + 4)$

Теперь решим это уравнение. Раскроем скобки в обеих частях. В левой части используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: $x^2 + 14x + 49$

В правой части перемножим многочлены: $2x \cdot x + 2x \cdot 4 + 6 \cdot x + 6 \cdot 4 = 2x^2 + 8x + 6x + 24 = 2x^2 + 14x + 24$

Приравняем левую и правую части: $x^2 + 14x + 49 = 2x^2 + 14x + 24$

Перенесем все слагаемые в одну сторону: $2x^2 - x^2 + 14x - 14x + 24 - 49 = 0$

Упростим выражение: $x^2 - 25 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Решим его: $x^2 = 25$ $x_1 = 5$, $x_2 = -5$

Таким образом, существуют два значения $x$, при которых выражения являются последовательными членами геометрической прогрессии. Найдем эти члены для каждого значения $x$.

При $x = 5$:

Найдем члены прогрессии, подставив $x = 5$ в исходные выражения: $b_1 = 2(5) + 6 = 10 + 6 = 16$
$b_2 = 5 + 7 = 12$
$b_3 = 5 + 4 = 9$
Получилась последовательность: 16, 12, 9. Знаменатель этой прогрессии $q = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}$.

Ответ: при $x = 5$ члены прогрессии равны 16, 12, 9.

При $x = -5$:

Найдем члены прогрессии, подставив $x = -5$ в исходные выражения: $b_1 = 2(-5) + 6 = -10 + 6 = -4$
$b_2 = -5 + 7 = 2$
$b_3 = -5 + 4 = -1$
Получилась последовательность: -4, 2, -1. Знаменатель этой прогрессии $q = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2}$.

Ответ: при $x = -5$ члены прогрессии равны -4, 2, -1.

7. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 6, которые больше 100 и меньше 200.

Требуется найти сумму всех натуральных чисел, кратных 6, которые находятся в интервале от 100 до 200. Эти числа образуют арифметическую прогрессию, где разность $d=6$.

1. Нахождение первого члена прогрессии ($a_1$)
Найдем наименьшее число, которое больше 100 и делится на 6. Для этого разделим 100 на 6:
$100 \div 6 \approx 16.67$
Ближайшее целое число, большее 16.67, — это 17. Умножим его на 6:
$a_1 = 17 \cdot 6 = 102$.

2. Нахождение последнего члена прогрессии ($a_n$)
Найдем наибольшее число, которое меньше 200 и делится на 6. Разделим 200 на 6:
$200 \div 6 \approx 33.33$
Ближайшее целое число, меньшее 33.33, — это 33. Умножим его на 6:
$a_n = 33 \cdot 6 = 198$.

3. Нахождение количества членов прогрессии ($n$)
Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Подставим известные значения:
$198 = 102 + (n-1) \cdot 6$
$198 - 102 = (n-1) \cdot 6$
$96 = (n-1) \cdot 6$
$n-1 = \frac{96}{6}$
$n-1 = 16$
$n = 17$
Всего в данной последовательности 17 чисел.

4. Нахождение суммы прогрессии ($S_n$)
Используем формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
Подставим найденные значения:
$S_{17} = \frac{102 + 198}{2} \cdot 17$
$S_{17} = \frac{300}{2} \cdot 17$
$S_{17} = 150 \cdot 17$
$S_{17} = 2550$.

Ответ: 2550