Страница 121 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

1. Решите неравенство $3(2x+3) \leq 49 - 2x$.

1.

Чтобы решить данное линейное неравенство, необходимо выполнить следующие шаги:

Исходное неравенство:

$3(2x + 3) \le 49 - 2x$

1. Раскроем скобки в левой части неравенства, умножив 3 на каждое слагаемое в скобках:

$3 \cdot 2x + 3 \cdot 3 \le 49 - 2x$

$6x + 9 \le 49 - 2x$

2. Соберем все слагаемые с переменной $x$ в левой части, а свободные члены (числа) — в правой. При переносе слагаемого из одной части в другую его знак меняется на противоположный.

$6x + 2x \le 49 - 9$

3. Приведем подобные слагаемые в обеих частях неравенства:

$8x \le 40$

4. Разделим обе части неравенства на коэффициент при $x$, то есть на 8. Так как мы делим на положительное число, знак неравенства сохраняется.

$\frac{8x}{8} \le \frac{40}{8}$

$x \le 5$

Таким образом, решением неравенства является любое число, которое меньше или равно 5. Это можно записать в виде числового промежутка.

Ответ: $x \in (-\infty; 5]$

2. Постройте график функции $y = 8 + 2x - x^2$. Пользуясь графиком, найдите:

1) промежуток убывания функции;

2) множество решений неравенства $8 + 2x - x^2 \le 0$.

Для построения графика функции $y = 8 + 2x - x^2$ выполним следующие шаги.

Данная функция является квадратичной, её график — парабола. Запишем уравнение в стандартном виде $y = -x^2 + 2x + 8$.

1. Направление ветвей параболы. Коэффициент при $x^2$ равен $a = -1$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Координаты вершины параболы. Найдём координаты вершины $(x_в, y_в)$ по формулам:
$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = -\frac{2}{-2} = 1$.
$y_в = - (1)^2 + 2 \cdot 1 + 8 = -1 + 2 + 8 = 9$.
Таким образом, вершина параболы находится в точке $(1; 9)$. Ось симметрии параболы — прямая $x=1$.

3. Точки пересечения с осями координат.
- С осью OX (осью абсцисс): для этого приравняем $y$ к нулю.
$-x^2 + 2x + 8 = 0$
Умножим на -1: $x^2 - 2x - 8 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = -2$ и $x_2 = 4$.
Точки пересечения с осью OX: $(-2; 0)$ и $(4; 0)$.
- С осью OY (осью ординат): для этого подставим $x=0$.
$y = -0^2 + 2 \cdot 0 + 8 = 8$.
Точка пересечения с осью OY: $(0; 8)$.

4. Построение графика. Отмечаем на координатной плоскости вершину $(1; 9)$, точки пересечения с осями $(-2; 0)$, $(4; 0)$, $(0; 8)$ и точку, симметричную точке $(0; 8)$ относительно оси симметрии $x=1$ — это точка $(2; 8)$. Соединяем точки плавной линией, получая параболу.

Теперь, используя построенный график, ответим на вопросы.

1) промежуток убывания функции;
Функция убывает на промежутке, где с увеличением $x$ значение $y$ уменьшается. Для параболы с ветвями вниз это происходит справа от вершины. Вершина находится в точке, где $x=1$. Следовательно, функция убывает при $x \ge 1$.
Ответ: $[1; +\infty)$.

2) множество решений неравенства $8 + 2x - x^2 \le 0$.
Решить неравенство $8 + 2x - x^2 \le 0$ означает найти все значения $x$, при которых график функции $y = 8 + 2x - x^2$ находится на оси OX или ниже неё. Из графика видно, что это происходит на двух промежутках: левее точки пересечения $x=-2$ и правее точки пересечения $x=4$, включая сами эти точки, так как неравенство нестрогое.
Ответ: $(-\infty; -2] \cup [4; +\infty)$.

3. Решите систему уравнений $\begin{cases} x + y = 2, \\ 2x^2 + xy + y^2 = 16. \end{cases}$

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x + y = 2 \\ 2x^2 + xy + y^2 = 16 \end{cases} $$ Для решения системы используем метод подстановки. Из первого уравнения выразим переменную $y$ через $x$:
$y = 2 - x$

Подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение системы:
$2x^2 + x(2 - x) + (2 - x)^2 = 16$

Раскроем скобки и упростим уравнение:
$2x^2 + 2x - x^2 + (4 - 4x + x^2) = 16$
Приведем подобные слагаемые:
$(2x^2 - x^2 + x^2) + (2x - 4x) + 4 = 16$
$2x^2 - 2x + 4 = 16$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:
$2x^2 - 2x + 4 - 16 = 0$
$2x^2 - 2x - 12 = 0$
Разделим обе части уравнения на 2, чтобы упростить его:
$x^2 - x - 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем корни с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 5}{2} = 3$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 5}{2} = -2$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого найденного значения $x$, используя формулу $y = 2 - x$:
1. При $x_1 = 3$:
$y_1 = 2 - 3 = -1$
2. При $x_2 = -2$:
$y_2 = 2 - (-2) = 2 + 2 = 4$

Таким образом, решениями системы являются две пары чисел: $(3; -1)$ и $(-2; 4)$.
Ответ: $(3; -1)$, $(-2; 4)$.

4. Найдите сумму шестнадцати первых членов арифметической прогрессии $(a_n)$, если $a_6 = 1$, $a_9 = 2,8$.

Для решения задачи воспользуемся формулой $n$-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$ и формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$, где $a_1$ — первый член прогрессии, а $d$ — её разность.

1. Найдем разность прогрессии $d$.

Известно, что $a_9 = a_6 + (9-6)d = a_6 + 3d$.

Подставим известные значения $a_6 = 1$ и $a_9 = 2,8$:

$2,8 = 1 + 3d$

$3d = 2,8 - 1$

$3d = 1,8$

$d = 1,8 / 3 = 0,6$

2. Найдем первый член прогрессии $a_1$.

Воспользуемся формулой для $a_6$:

$a_6 = a_1 + (6-1)d = a_1 + 5d$

Подставим известные значения $a_6 = 1$ и $d = 0,6$:

$1 = a_1 + 5 \cdot 0,6$

$1 = a_1 + 3$

$a_1 = 1 - 3 = -2$

3. Найдем сумму первых шестнадцати членов прогрессии $S_{16}$.

Воспользуемся формулой суммы:

$S_{16} = \frac{2a_1 + (16-1)d}{2} \cdot 16$

Подставим найденные значения $a_1 = -2$ и $d = 0,6$:

$S_{16} = \frac{2 \cdot (-2) + 15 \cdot 0,6}{2} \cdot 16$

$S_{16} = \frac{-4 + 9}{2} \cdot 16$

$S_{16} = \frac{5}{2} \cdot 16$

$S_{16} = 5 \cdot 8 = 40$

Ответ: 40

5. Два оператора компьютерного набора, работая вместе, могут выполнить набор некоторой книги за 4 дня. Если первый оператор наберёт $\frac{1}{6}$ книги, а затем его заменит второй, то вся книга будет набрана за 7 дней. За сколько дней может выполнить эту работу каждый из них, работая самостоятельно?

Пусть первый оператор может выполнить всю работу самостоятельно за $x$ дней, а второй — за $y$ дней. Тогда производительность первого оператора составляет $\frac{1}{x}$ часть работы в день, а производительность второго — $\frac{1}{y}$ часть работы в день.

Согласно первому условию, работая вместе, они выполняют всю работу (1) за 4 дня. Их совместная производительность равна $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$. Составим первое уравнение:
$(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) \cdot 4 = 1$
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4}$

Согласно второму условию, первый оператор выполняет $\frac{1}{6}$ всей работы. Время, которое он на это затратит, составляет $t_1 = \frac{1/6}{1/x} = \frac{x}{6}$ дней. После этого второй оператор выполняет оставшуюся часть работы, которая равна $1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$. Время, которое второй оператор на это затратит, составляет $t_2 = \frac{5/6}{1/y} = \frac{5y}{6}$ дней. Общее время, затраченное на выполнение всей работы, составляет 7 дней, то есть $t_1 + t_2 = 7$. Составим второе уравнение:
$\frac{x}{6} + \frac{5y}{6} = 7$
Умножив обе части уравнения на 6, получим:
$x + 5y = 42$

Теперь решим систему из двух полученных уравнений:
$\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4} \\ x + 5y = 42 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $x$ через $y$:
$x = 42 - 5y$

Подставим это выражение в первое уравнение:
$\frac{1}{42 - 5y} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4}$

Приведем левую часть к общему знаменателю:
$\frac{y + (42 - 5y)}{y(42 - 5y)} = \frac{1}{4}$
$\frac{42 - 4y}{42y - 5y^2} = \frac{1}{4}$

Используя свойство пропорции, получим:
$4(42 - 4y) = 1(42y - 5y^2)$
$168 - 16y = 42y - 5y^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$5y^2 - 42y - 16y + 168 = 0$
$5y^2 - 58y + 168 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-58)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 168 = 3364 - 3360 = 4$
$y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{58 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 5} = \frac{58 \pm 2}{10}$

Уравнение имеет два корня:
$y_1 = \frac{58 + 2}{10} = \frac{60}{10} = 6$
$y_2 = \frac{58 - 2}{10} = \frac{56}{10} = 5.6$

Поскольку мы получили два возможных значения для $y$, задача имеет два возможных решения. Рассмотрим каждое из них.

Случай 1:
Если второй оператор выполняет работу за $y_1 = 6$ дней, найдем время для первого оператора:
$x_1 = 42 - 5y_1 = 42 - 5 \cdot 6 = 42 - 30 = 12$ дней.
Проверим:
1) Совместная работа: $\frac{1}{12} + \frac{1}{6} = \frac{1+2}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$. Время $1 / (1/4) = 4$ дня. Верно.
2) Последовательная работа: первый работает $\frac{12}{6} = 2$ дня, второй работает $\frac{5 \cdot 6}{6} = 5$ дней. Общее время $2 + 5 = 7$ дней. Верно.
Таким образом, первый оператор может выполнить работу за 12 дней, а второй — за 6 дней.

Случай 2:
Если второй оператор выполняет работу за $y_2 = 5.6$ дней, найдем время для первого оператора:
$x_2 = 42 - 5y_2 = 42 - 5 \cdot 5.6 = 42 - 28 = 14$ дней.
Проверим:
1) Совместная работа: $\frac{1}{14} + \frac{1}{5.6} = \frac{1}{14} + \frac{1}{56/10} = \frac{1}{14} + \frac{10}{56} = \frac{1}{14} + \frac{5}{28} = \frac{2+5}{28} = \frac{7}{28} = \frac{1}{4}$. Время $1 / (1/4) = 4$ дня. Верно.
2) Последовательная работа: первый работает $\frac{14}{6} = \frac{7}{3}$ дня, второй работает $\frac{5 \cdot 5.6}{6} = \frac{28}{6} = \frac{14}{3}$ дня. Общее время $\frac{7}{3} + \frac{14}{3} = \frac{21}{3} = 7$ дней. Верно.
Таким образом, первый оператор может выполнить работу за 14 дней, а второй — за 5,6 дня.

Оба набора значений удовлетворяют условиям задачи.

Ответ: Задача имеет два решения. 1) Первый оператор может выполнить работу за 12 дней, а второй — за 6 дней. 2) Первый оператор может выполнить работу за 14 дней, а второй — за 5,6 дня.

6. При каких значениях $a$ уравнение $x^2 - (a - 6)x + 4 = 0$ не имеет корней?

Данное уравнение $x^2 - (a - 6)x + 4 = 0$ является квадратным уравнением вида $Ax^2 + Bx + C = 0$. Квадратное уравнение не имеет действительных корней, если его дискриминант $D$ строго меньше нуля, то есть $D < 0$.

Определим коэффициенты данного уравнения:

$A = 1$

$B = -(a - 6)$

$C = 4$

Теперь вычислим дискриминант по формуле $D = B^2 - 4AC$:

$D = (-(a - 6))^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = (a - 6)^2 - 16$

Для того чтобы уравнение не имело корней, должно выполняться неравенство $D < 0$:

$(a - 6)^2 - 16 < 0$

Решим это неравенство. Можно перенести 16 в правую часть:

$(a - 6)^2 < 16$

Это неравенство равносильно системе:

$-4 < a - 6 < 4$

Прибавим 6 ко всем частям двойного неравенства:

$-4 + 6 < a < 4 + 6$

$2 < a < 10$

Таким образом, при значениях $a$, принадлежащих интервалу $(2; 10)$, исходное уравнение не имеет корней.

Ответ: $a \in (2; 10)$.

7. На четырёх карточках записаны числа 3, 4, 5 и 6. Какова вероятность того, что произведение чисел, записанных на двух наугад выбранных карточках, будет кратным числу 3?

Для решения задачи по теории вероятностей необходимо определить общее количество элементарных исходов и количество исходов, благоприятствующих данному событию.

1. Определение общего количества исходов

Нам даны четыре карточки с числами 3, 4, 5, 6. Нужно выбрать две карточки. Порядок выбора не имеет значения, поэтому мы используем формулу для числа сочетаний из $n$ по $k$:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В данном случае $n=4$ (всего карточек) и $k=2$ (выбираем карточек). Общее число возможных пар (элементарных исходов) $N$ равно:

$N = C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{24}{2 \cdot 2} = 6$

Всего существует 6 возможных пар чисел: (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 5), (4, 6), (5, 6).

2. Определение количества благоприятных исходов

Событие, вероятность которого мы ищем, заключается в том, что произведение чисел на двух выбранных карточках будет кратно 3. Произведение двух целых чисел кратно 3, если хотя бы один из сомножителей кратен 3.

В нашем наборе чисел {3, 4, 5, 6} числами, кратными 3, являются 3 и 6.

Таким образом, благоприятным исходом будет выбор любой пары, в которой есть хотя бы одно из чисел 3 или 6. Посчитаем такие пары из общего списка:

• (3, 4) - содержит 3, произведение $12$ кратно 3
• (3, 5) - содержит 3, произведение $15$ кратно 3
• (3, 6) - содержит 3 и 6, произведение $18$ кратно 3
• (4, 6) - содержит 6, произведение $24$ кратно 3
• (5, 6) - содержит 6, произведение $30$ кратно 3

Всего таких пар 5. Это и есть количество благоприятных исходов $M$.

Альтернативный способ — найти количество неблагоприятных исходов. Неблагоприятный исход — это когда произведение не кратно 3, что возможно, только если оба выбранных числа не кратны 3. В нашем наборе это числа 4 и 5. Из них можно составить только одну пару: (4, 5). Значит, количество неблагоприятных исходов равно 1. Тогда количество благоприятных исходов $M$ равно: $M = N - 1 = 6 - 1 = 5$.

3. Расчет вероятности

Вероятность события $P$ вычисляется по классической формуле как отношение числа благоприятных исходов $M$ к общему числу исходов $N$:

$P = \frac{M}{N}$

$P = \frac{5}{6}$

Ответ: $\frac{5}{6}$