Номер 2, страница 121 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

2. Постройте график функции $y = 8 + 2x - x^2$. Пользуясь графиком, найдите:

1) промежуток убывания функции;

2) множество решений неравенства $8 + 2x - x^2 \le 0$.

Для построения графика функции $y = 8 + 2x - x^2$ выполним следующие шаги.

Данная функция является квадратичной, её график — парабола. Запишем уравнение в стандартном виде $y = -x^2 + 2x + 8$.

1. Направление ветвей параболы. Коэффициент при $x^2$ равен $a = -1$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Координаты вершины параболы. Найдём координаты вершины $(x_в, y_в)$ по формулам:
$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = -\frac{2}{-2} = 1$.
$y_в = - (1)^2 + 2 \cdot 1 + 8 = -1 + 2 + 8 = 9$.
Таким образом, вершина параболы находится в точке $(1; 9)$. Ось симметрии параболы — прямая $x=1$.

3. Точки пересечения с осями координат.
- С осью OX (осью абсцисс): для этого приравняем $y$ к нулю.
$-x^2 + 2x + 8 = 0$
Умножим на -1: $x^2 - 2x - 8 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = -2$ и $x_2 = 4$.
Точки пересечения с осью OX: $(-2; 0)$ и $(4; 0)$.
- С осью OY (осью ординат): для этого подставим $x=0$.
$y = -0^2 + 2 \cdot 0 + 8 = 8$.
Точка пересечения с осью OY: $(0; 8)$.

4. Построение графика. Отмечаем на координатной плоскости вершину $(1; 9)$, точки пересечения с осями $(-2; 0)$, $(4; 0)$, $(0; 8)$ и точку, симметричную точке $(0; 8)$ относительно оси симметрии $x=1$ — это точка $(2; 8)$. Соединяем точки плавной линией, получая параболу.

Теперь, используя построенный график, ответим на вопросы.

1) промежуток убывания функции;
Функция убывает на промежутке, где с увеличением $x$ значение $y$ уменьшается. Для параболы с ветвями вниз это происходит справа от вершины. Вершина находится в точке, где $x=1$. Следовательно, функция убывает при $x \ge 1$.
Ответ: $[1; +\infty)$.

2) множество решений неравенства $8 + 2x - x^2 \le 0$.
Решить неравенство $8 + 2x - x^2 \le 0$ означает найти все значения $x$, при которых график функции $y = 8 + 2x - x^2$ находится на оси OX или ниже неё. Из графика видно, что это происходит на двух промежутках: левее точки пересечения $x=-2$ и правее точки пересечения $x=4$, включая сами эти точки, так как неравенство нестрогое.
Ответ: $(-\infty; -2] \cup [4; +\infty)$.