Номер 3, страница 121 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

3. Решите систему уравнений $\begin{cases} x + y = 2, \\ 2x^2 + xy + y^2 = 16. \end{cases}$

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x + y = 2 \\ 2x^2 + xy + y^2 = 16 \end{cases} $$ Для решения системы используем метод подстановки. Из первого уравнения выразим переменную $y$ через $x$:
$y = 2 - x$

Подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение системы:
$2x^2 + x(2 - x) + (2 - x)^2 = 16$

Раскроем скобки и упростим уравнение:
$2x^2 + 2x - x^2 + (4 - 4x + x^2) = 16$
Приведем подобные слагаемые:
$(2x^2 - x^2 + x^2) + (2x - 4x) + 4 = 16$
$2x^2 - 2x + 4 = 16$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:
$2x^2 - 2x + 4 - 16 = 0$
$2x^2 - 2x - 12 = 0$
Разделим обе части уравнения на 2, чтобы упростить его:
$x^2 - x - 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем корни с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 5}{2} = 3$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 5}{2} = -2$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого найденного значения $x$, используя формулу $y = 2 - x$:
1. При $x_1 = 3$:
$y_1 = 2 - 3 = -1$
2. При $x_2 = -2$:
$y_2 = 2 - (-2) = 2 + 2 = 4$

Таким образом, решениями системы являются две пары чисел: $(3; -1)$ и $(-2; 4)$.
Ответ: $(3; -1)$, $(-2; 4)$.